2020届高三一轮复习文科数学课件---直线与方程

锁定高考文数第八章平面解析几何8.1直线与方程【考纲考情】考试说明1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．4.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．5.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离考点五年考情素养定位1.直线的倾斜角与斜率5年3考2.直线的方程5年2考3.直线方程的综合应用5年5考4.两直线的位置关系5年1考5.距离问题5年3考6.对称问题5年3考通过对直线方程的求解以及直线位置关系的研究，培养数学运算以及数学直观想象的核心素养趋势分析本部分内容为解析几何的基础知识之一，在每年的高考中均有涉及，主要考查基本概念和直线方程的求法及应用．单独考查直线的问题多为基础题，以选择题方式考查为主；与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识点结合，多为中等或偏难试题，多出现在解答题部分．求直线方程时要注意直线形式的选择，涉及直线倾斜角与斜率的问题要注意对倾斜角为直角即斜率不存在的情况进行讨论夯实双击自主梳理1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l的倾斜角的范围是[0，π)．向上方向平行或重合[0，π)2.直线的斜率条件公式直线的倾斜角θ，且θ≠90°k＝tanθ直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2k＝tanθy1－y2x1－x23.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y＝k(x－x)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋by－y1y2－y1＝x－x1x2－x1名称方程适用范围截距式＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用xa＋yb＝1Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)4.两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系k＝k平行k1与k2都不存在＝－1两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2垂直k1与k2一个为零、另一个不存在k1＝k2k1k2＝－15.两条直线的交点6.三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B2【必记结论】1.平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．2.垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.3.过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2l1∥l2.()解析当k1＝k2时，l1∥l2或l1与l2重合，错误．×(2)如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1.()解析可能一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，错误．(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．()解析方程组有唯一解，两直线相交，正确．×√(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为|kx0＋b|1＋k2.()解析距离应为|kx0－y0＋b|1＋k2，错误．×(5)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()解析垂直于x轴的直线斜率不存在，错误．×(6)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()解析垂直于x轴的直线不能用此方程表示，错误．×2.直线xsinπ7＋ycosπ7＝0的倾斜角α是()A.－π7B.π7C.5π7D.6π7D解析∵tanα＝－sinπ7cosπ7＝－tanπ7＝tan67π，α∈[0，π)，∴α＝67π，选D.3.如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由题意知直线的斜率k＝－AB＜0，直线在y轴上的截距b＝－CB＞0，故直线Ax＋By＋C＝0通过第一、二、四象限，故选C.C4.过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()A.x－2y＋4＝0B.2x＋y－7＝0C.x－2y＋3＝0D.x－2y＋5＝0解析根据两直线垂直，斜率乘积为－1(直线斜率存在)，得直线斜率为12，由点斜式得y－3＝12(x－2)，即x－2y＋4＝0.故选A.A5.已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A.2B.2－2C.2－1D.2＋1解析由题意知|a－2＋3|2＝1，∴|a＋1|＝2，又a＞0，∴a＝2－1.C6.已知直线3x＋4y－3＝0与6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是2.解析由直线3x＋4y－3＝0，得6x＋8y－6＝0，∴m＝8，∴两平行线之间的距离为d＝|－6－14|62＋82＝2.2题型考向层级突破|题型一|直线的倾斜角与斜率(自主练透)[高考分析]直线的倾斜角与斜率是解决直线方程研究直线位置关系的关键条件，命题主要围绕倾斜角或斜率的范围展开，多以填空选择形式呈现，难度较低．(1)直线2xcosα－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的变化范围是()A.π6，π3B.π4，π3C.π4，π2D.π4，2π3B解析直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈π6，π3，∴12≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，∴θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.(2)已知直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是()A.[－6，6]B.－∞，－66∪66，＋∞C.－∞，－66∪66，＋∞D.以上都不对C解析设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得yx＋1·yx－1＝3，即y2＝3x2－3.联立x－my＋3m＝0，y2＝3x2－3，得1m2－3x2＋23mx＋6＝0.要使直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则Δ＝(23m)2－241m2－3≥0，即m2≥16.∴实数m的取值范围是－∞，－66∪66，＋∞.故选C.(3)曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为．解析记曲线上点P处的切线的倾斜角是θ，∵y′＝3x2－1≥－1，∴tanθ≥－1，∴θ为钝角时，应有θ∈3π4，π；θ为锐角(或θ＝0)时，tanθ≥－1显然成立．综上，θ的取值范围是0，π2∪3π4，π.0，π2∪3π4，π[方法指导](1)求倾斜角的取值范围的一般步骤①求出斜率k＝tanα的取值范围．②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．(2)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求斜率．[备课优选]若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.π6，π3B.π6，π2C.π3，π2D.π6，π2B解析如图，直线l：y＝kx－3，过定点P(0，－3)，又A(3，0)，∴kPA＝33，故直线PA的倾斜角为π6，满足条件的直线l的倾斜角的取值范围是π6，π2.|题型二|求直线的方程(课堂共研)[高考分析]直线方程的求解一般作为中间的一个求解环节给出，一般不单独命题，要注意几种方程形式的特点及应用．根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)(待定系数法)直线过点(5，10)，到原点的距离为5.解析(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0＜α＜π)，从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13.故所求直线方程为y＝±13(x＋4)．即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)及(4，1)，∴l的方程为y＝14x，即x－4y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(4，1)，∴4a＋1a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.[方法指导]求直线方程的两种常用方法(1)直接法：根据已知条件，确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．[易错警示](1)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；(2)设直线方程时选择形式应注意：选用点斜式、斜截式要注意斜率不存在的情况，选用两点式要注意与坐标轴垂直的情况，选用截距式要注意截距为零的情况，不要漏解；(3)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．[变式训练]1.已知A(－1，1)，B(3，1)，C(1，3)，则△ABC的BC边上的高所在直线方程为()A.x＋y＝0B.x－y＋2＝0C.x＋y＋2＝0D.x－y＝0解析∵B(3，1)，C(1，3)，∴kBC＝3－11－3＝－1，故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，又高线经过点A，∴其直线方程为x－y＋2＝0.B2.过点M(－1，－2)作一条直线l，使得l夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，则直线l的方程为2x＋y＋4＝0．解析由题意，可设所求直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)(k≠0)，直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，则A2k－1，0，B(0，k－2)．∵AB的中点为M，∴－2＝2k－1，－4＝k－2，解得k＝－2.∴所求直线l的方程为2x＋y＋4＝0.2x＋y＋4＝0[备课优选]设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．解析(1)当直线l过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，则截距相等，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.若a≠2，由于截距存在且不为零，∴a－2a＋1