系统对任意激励的响应卷积积分

3．8系统对任意激励的响应·卷积积分3．7节讨论了周期激励作用下系统的响应。在不考虑初始阶段的瞬态振动时，它是稳态的周期振动。但在许多实际问题中，激励并非是周期函数，而是任意的时间函数，或者是在极短时间间隔内的冲击作用。例如，列车在启动时各车厢挂钩之间的冲击力；火炮在发射时作用于支承结构的反作用力；地震波以及强烈爆炸形成的冲击波对房屋建筑的作用；精密仪表在运输过程中包装箱速度(大小与方向)的突变等。在这种激励情况下，系统通常没有稳态振动，而只有瞬态振动。在激励停止作用后，振动系统将按固有频率进行自由振动。但只要激励持续，即使存在阻尼，由激励产生的响应也将会无限地持续下去。系统在任意激励作用下的振动状态，包括激励作用停止后的自由振动，称为任意激励的响应，周期激励是任意激励的一种特例。有多种方法可以确定系统对任意激励的响应，这取决于描述激励函数的方式。一种方法是用傅里叶积分来表示激励，它是由傅里叶级数通过令周期趋近于无穷大的极限过程来得到的。所以，实质上激励不再是周期的。另一种方法是将激励视为持续时间非常短的脉冲的叠加，引用卷积积分的方法，对具有任何非齐次项的微分方程，都用统一的数学形式把解表示出来，而且所得到的解除代表强迫振动外，还包括伴随发生的自由振动。1．脉冲响应一单位脉冲输入，具有零初始条件的系统响应，称为系统的脉冲响应。宽度T0、高度l／T0的矩形脉冲，如图所示。这个矩形脉冲的面积为1，为了得到单位脉冲，使脉冲宽度T0接近于零，而保持面积为1，在极限情况下，单位脉冲的数学定义为这个脉冲发生在t=O处，如图所示。如果单位脉冲发生在t=a处，则它可由下式定义注意，δ(t-a)是一个沿着时间轴正向移动了a时间的单位脉冲。具有上述特性的任何函数(并不一定是矩形脉冲)，都可用来作为一个脉冲，称为δ函数。数学上，单位脉冲必须具有零脉冲宽度、单位面积和无限的高度。这样的脉冲模型不可能在现实应用中实现，然而在具体系统的脉冲试验中，若激励的持续时间同系统的固有周期(T=1／f)相比非常的短，则激励就可以考虑为一个脉冲。δ函数的单位为s-1，在其他方面的情况，δ函数将有不同的量纲。如果在t=0与t=a处分别作用有瞬时冲量，则对应的脉冲力可方便地写成式中的单位为N·s。现在来研究单自由度阻尼系统对脉冲力的响应，系统振动微分方程为假定系统在脉冲力作用之前处于静止，即由于作用在t=0处，对于t≥0+，系统不再受脉冲力的作用，但其影响依然存在。另外，系统对于零初始条件的响应，将变成t=O+时的初始条件引起的自由振动。为了找出t=0+时的初始条件，对方程在区间0-≤t≤O+上积分两次，有因为则方程的右端积分两次为无限小量，可以略去不计。又因为位移x为有限值，所以方程左端第二项和第三项的积分值是无限小量或高一阶的无限小量，同样近似取为零。考虑到x(O-)=0，则有也就是说，在脉冲力作用的极短时间内，质量m还来不及发生位移。在区间0-≤t≤O+上积分一次，有现在，只对方程同理，上面方程的右端为，左端的第二项为零，而第三项可以忽略不计，得可见，若系统在脉冲力作用之前静止，脉冲力使速度产生瞬时变化，则可以认为在t=0时作用的脉冲力等效于初始位移x(0)=0和初始速度的初始干扰作用，所以方程等价于初始条件引起的自由振动，即其解为令，则系统受单位脉冲力F(t)=δ(t)作用，其响应称为脉冲响应，即2．卷积积分利用脉冲响应，可以计算振动系统对任意激励函数F(t)的响应，把F(t)视为一系列幅值不等的脉冲，用脉冲序列近似地代替激励F(t)，如图所示，脉冲的强度由脉冲的面积确定，在任意时刻t=τ处，相应的时间增量为△τ，有一个大小为F(τ)△τ的脉冲，相应的力的数学表达为F(τ)△τδ(t-τ)。因为在t=τ处对脉冲的响应为h(t-τ)，所以脉冲F(τ)△τδ(t-τ)的响应为其单位脉冲响应和脉冲强度的乘积，即F(τ)△τh(t-τ)。通过叠加，求出序列中每一脉冲引起的响应的总和为令△τ→0，并取极限，上式表示为积分形式上式称为卷积积分，又称为杜哈梅(Duhamel)积分，它将响应表示成脉冲响应的叠加。这里h(t-τ)是将方程中h（t）的t用t-τ代替后得到的。因而，将方程中h（t）的t换成t-τ后代入上面方程，得到上式表示单自由度有阻尼的质量—弹簧系统对任意激励F(t)的响应。要注意的是，上面方程是在零初始条件下，对于输入F(t)得到的系统输出x(t)。若在t=0时，任意激励F(t)作用的瞬时，系统的初始位移和初始速度为则系统的响应是由激励和初始条件引起的响应的叠加，即积分式中的脉冲响应被推迟或移动了时间t-τ，也可以移动激励函数F(t)来代替脉冲响应的移动而导出一个相似的式子。令t-τ=u则-dr=du，此外考虑式中的积分限界，当τ=0时，u=t，当τ=t时，u=0，将其代入式中，得到式上式为卷积积分的另一种表达形式。式中的τ和式中的u只是积分变量，可见卷积积分对于激励F(t)和脉冲响应h(t)是对称的，即卷积积分在线性系统研究中是一个有力的工具。虽然式不便于笔算，但是用计算机可以容易地进行计算。例3．8-1设一单自由度无阻尼系统受到的简谐激励如下：试用卷积积分计算其响应。解：在方程中，令ζ=0，ωd=ωn，则为当tO时没有激励，所以其响应应该写成下面的形式上式右端第一项代表强迫振动，它是按激励频率ω进行的稳态运动，即使振动系统有阻尼也并不衰减；第二项是按固有频率ωn进行的自由振动，只要振动有极微小的阻尼就会迅速衰减，所以是瞬态振动。应用卷积积分，则稳态振动与瞬态振动可同时得出。例3.8—2试确定单自由度无阻尼系统在零初始条件下对图中激励函数的响应。解：由图可得激励函数为由方程得到例3.8—3如图所示为一质量—弹簧系统，箱子由高h处静止自由下落，当箱子触到地面时，试求传递到质量m上的最大力是多少?假定质量m和箱子之间有足够的间隙，不会碰撞。解：设x与y分别代表质量m与箱子的绝对位移，在自由下落过程中，质量m的运动微分方程为以z=x-y代表质量m相对于箱子的相对位移，有式中假定箱子的质量远大于质量m，因而可以认为质量m的运动不影响箱子的自由下落。由于箱子是由高h处自由下落，故有由卷积积分有因而这就是在箱子着地前质量m相对于箱子的位移与速度。设箱子着地的瞬时为t1，由自由落体知就在瞬时t1之前，质量m的相对位移和相对速度为同时箱子的速度为由于箱子着地后即静止在地面上，不回跳。在箱子着地的瞬间，质量m相对箱子的位移与速度分别为改取瞬时t1为初始瞬时，则箱子着地后质量m相对箱子作自由振动，其相对运动方程为式中通过弹簧传递到质量m上的最大力等于kA，即3．单位阶跃响应作为卷积积分的一种应用，现在来计算单自由度阻尼系统对单位阶跃函数的响应。如图所示的单位阶跃函数在数学上可以定义为显然，函数在t=a处有一突变，其值从O跳到1。如果突变发生于t=0处，那么这一函数可以简单地写成u(t)。单位阶跃函数是无量纲的函数。于是当一个任意函数F(t)与单位阶跃函数u(t-a)相乘时，F(t)u(t-a)相对于ta的部分等于零，而其余ta的部分则不受影响，即单位阶跃函数u(t-a)与脉冲函数δ(t-a)之间存在着密切的关系，即反过来，则δ(t-a)可以视为u(t-a)对时间的导数，即当初始条件为零时，系统对在t=0处所作用的单位阶跃函数u(t)的响应，称为系统的单位阶跃响应，用g(t)表示。将F(τ)=u(τ)代入卷积积分，可得单位阶跃响应考虑到因而积分可以改写成令t-τ=a，dτ=-da，并互换积分的限界后，积分成为作一些代数运算后，并注意到方程简化为式中单位阶跃函数u(t)表明t0时g(t)=0。g(t)对t的曲线如图所示。上式也可以变换为式中这说明突加单位力不仅使弹簧产生静变形1/k，同时使系统发生振幅为的衰减运动。若忽略阻尼不计，即ζ=0，ωd=ωn，则单位阶跃响应为