多元函数习题

第八讲Ⅰ授课题目：习题课Ⅱ教学目的与要求：1、理解多元函数的概念。2、了解二元函数的极限与连续性的概念。3、理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。4、熟练掌握求多元复合函数一阶偏导数和全微分的方法，会求复合函数的二阶偏导数。5、会求隐函数的偏导数。6、理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。7、理解二重积分的概念，了解二重积分的性质。8、掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。Ⅲ典型方法与例题:1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内(1)f(xy)在(xy)可微分是f(xy)在该点连续的______条件f(xy)在点连续是f(xy)在该点可微分的______条件解充分必要(2)zf(xy)在点(xy)的偏导数xz及yz存在是f(xy)在该点可微分的______条件zf(xy)在点(xy)可微分是函数在该点的偏导数xz及yz存在的______条件解必要充分(3)zf(xy)的偏导数xz及yz在(xy)存在且连续是f(xy)在该点可微分的______条件解充分(4)函数zf(xy)的两个二阶偏导数yxz2及xyz2在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的______条件解充分2求函数)1ln(4),(222yxyxyxf的定义域并求),(lim)0,21(),(yxfyx解函数的定义域为{(xy)|0x2y21,y24x}因为D)0,21(故由初等函数在定义域内的连续性有43ln2)1ln(4)1ln(4lim),(lim)0,21(222222)0,21(),()0,21(),(yxyxyxyxyxfyxyx3证明极限422)0,0(),(limyxxyyx不存在解因为02limlim230422)0,0(),(xxyxxyxxyyx21limlim4440422)0,0(),(2yyyyxxyyyxyx所以422)0,0(),(limyxxyyx不存在5设000),(2222222yxyxyxyxyxf求fx(xy)fy(xy)解当x2y20时222222222)(2)(2)(),(yxxyxyxxyyxyxxyxfx2223)(2yxxy2222222222)(2)()(),(yxyyxyxxyxyxyyxfy222222)()(yxyxx当x2y20时00lim)0,0()0,0(lim)0,0(00xxfxffxxx00lim)0,0()0,0(lim)0,0(00yyfyffyyy因此000)(2),(22222223yxyxyxxyyxfx000)()(),(2222222222yxyxyxyxxyxfy5求下列函数的一阶和二阶偏导数(1)zln(xy2)解21yxxz2222)(1yxxz22yxyyz222222222)()(2)(4)(2yxyxyxyyxyz2222)(2)1(yxyyxyyxz(2)zxy解1yyxxz222)1(yxyyxzxxyzylnxxyzy222ln)ln1(ln)(11112xyxxyxxyxyyxzyyyy6求函数22yxxyz当x2y1x0001y003时的全增量和全微分解02.032)03.1()01.2()03.1()01.2(22z因为22223)()(yxyxyxz22223)(yxxyxyz95)1,2(xz910)1,2(yz所以03.0)1,2()1,2(03.0,101.0,2yyzxxzdzyyxx7设000)(),(22222/32222yxyxyxyxyxf证明f(xy)在点(00)处连续且偏导数存在但不可微分证明因为222/3222222/32222)()()(0yxyxyxyxyx且0lim22)0,0(),(yxyx所以)0,0(0),(lim)0,0(),(fyxfyx即f(xy)在点(00)处连续因为00lim)0,0()0,0(lim)0,0(0xxfxffxxx00lim)0,0()0,0(lim)0,0(0yxfyffyyy所以f(xy)在点(00)处的偏导数存在因为2/32222])()[()()(])0,0()0,0([yxyxyfxfzyx041])(2[)(lim])()[()()(lim2/32402/322220xxyxyxxyx所以f(xy)在点(00)处不可微分8设uxy而x(t)y(t)都是可微函数求dtdu解)(ln)(1txxtyxdtdyyudtdxxudtduyy9设zf(uvw)具有连续偏导数而uvwx求zzz解wzvzwwzvvzuuzzwzuzwwzvvzuuzzvzuzwwzvvzuuzz10设zf(uxy)uxey其中f具有连续的二阶偏导数求yxz2解xuyxuffefxufxz)()()(2xuyuyxuyfyfyefeffeyyxz)()(xyxuuyuuyuyfyuffyufefe)()(xyxuyuyuuyyuyffxeffxeefexyxuyuyyuuyuyffxefefxefe211从斜边之长为l的一切直角三角形中求有最大周界的直角三角形解设直角三角形的两直角边之长分别为xy则周长Sxyl(0xl0yl)因此本题是在x2+y2l2下的条件极值问题作函数F(xy)xyl+(x2+y2l2)解方程组222021021lyxyFxFyx得唯一可能的极值点2lyx根据问题性质可知这种最大周界的直角三角形一定存在所以斜边之长为l的一切直角三角形中周界最大的是等腰直角三角形Ⅲ课外作业：370P14.15