定积分的元素法

第一节定积分的元素法一、问题的提出abxyo)(xfy曲边梯形:连续曲线y=f(x)、x轴与两条直线x=a,x=b所围成。badxxfA)(面积：)0)((xfiiixfA)()2(（3）A的近似值.)(1iinixfA（4）求极限，得A的精确值iinixfA)(lim10badxxf)(abxyo)(xfyxdxxdAdxxfA)(dxxfA)(dxxfdA)()1(badxxfA)()2(（1）把区间[a,b]分成n个小区间ixi个小区间长度为第iA相应的第i个小曲边梯形面积为二、元素法的一般步骤：这个方法通常叫做元素法．（1）选取一个变量例如x为积分变量，（2）设想把区间[a,b]分成n个小区间，（3）以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式，badxxfU)(在区间[a,b]上作定积分，得并确定它的变化区间[a,b]；取其中任一小区间[x,x+dx]，求出相应于这小区间的部分量近似值:dU=f(x)dx；xyo)(xfyabxyo)(1xfy)(2xfyabdxxfdA)(dxxfxfdA)]()([12一、平面图形的面积xxxxx第二节定积分在几何学上的应用badxxfA)(badxxfxfA)]()([121。直角坐标系情形解两曲线的交点(0,0)、(1,1)面积元素dxxxdA)(2选x为积分变量]1,0[xdxxxA)(21010333223xx.312xy2yx例1计算由两条抛物线xy2与2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选y为积分变量]4,2[ydyyydA242xy224xy例2计算由曲线和直线xy224xy所围成的图形的面积.dyyyA422)24(4232642yyy=18yxx=2y=xxy=1解dxxxdA)1(dxxxA21)1(212)ln2(xx2ln23例3计算由曲线xy=1和直线y=x及x=2所围成的图形的面积.解椭圆的参数方程tbytaxsincosaydxA0402)cos(sin4tatdbdttab202sin4.abtaxcos令0tax20tx例4求椭圆12222byax的面积.曲边梯形的曲边为参数方程:)()(tytx则曲边梯形的面积.)()(21ttdtttA（其中和对应曲线起点与终点的参数值）1t2t具有连续导数，上或在]),[(],[1221tttt)(tx)(tyxodd面积元素ddA2)]([21曲边扇形的面积.)]([212dA)(r设由曲线)(r与上连续，在其中],[)(0)(及射线围成一曲边扇形，求其面积．2、极坐标系情形解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积14AAdaA2cos214402.2axy2cos22a1A例5求双纽线2cos22a所围平面图形的面积.解dadA22)cos1(21利用对称性知.232add2)cos1(02212aAd)coscos21(202a2sin41sin2232a0例6求心形线)cos1(ar所围平面图形的面积(a0)旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台1、旋转体的体积二、体积],[baxdxxfdV2)]([xdxxxyo旋转体的体积为dxxfVba2)]([)(xfy求由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积？取积分变量为x在[a,b]上任取小区间[x,x+dx]取以dx为底的窄曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素yr解hPxhry],0[hxxo直线OP方程为例1连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x=h．高为h的圆锥体，及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、计算圆锥体的体积取积分变量为x，在[0,h]上任取小区间[x,x+dx]，dxxhrdV2dxxhrVh20hxhr03223.32hryrhPxo以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为圆锥体的体积aaoyx解,323232xay332322xay],[aaxdxxaVaa33232.105323a例2求星形线(a0)绕x轴旋转323232ayx构成旋转体的体积.旋转体的体积xyo)(yxcddyyVdc2)]([直线y=c,y=d及y轴所围成的曲边梯形)(yx类似地，如果旋转体是由连续曲线绕y轴旋转一周而成的立体，体积为:解dxxyVax)(2202022)cos1()cos1(dttata20323)coscos3cos31(dtttta.532aa2a)(xy分别绕x轴、),sin(ttax)cos1(tay例3求摆线的一拱与y=0所围成的图形,y轴旋转构成旋转体的体积.绕x轴旋转的旋转体体积dtyxVay)(2202dtyxa)(2201oyxa2ABCa2)(2yxx)(1yxx222sin)sin(tdtatta022sin)sin(tdtatta2023sin)sin(tdttta.633a绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.解]4,0[y体积元素为dyQMPMdV][22dyyy])43()43([22,412dyydyyV40412.643dyPQM例4求由曲线24xy绕直线x=3旋转构成旋转体的体积.及y=0所围成的图形取积分变量为y,xoab2、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,)(dxxAdV.)(badxxAV立体体积A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积，A(x)为x的已知连续函数RRxyo解取坐标系如图底圆方程为222Ryxx截面面积,tan)(21)(22xRxA立体体积dxxRVRRtan)(2122.tan323R例5一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，,并与底面交成角计算这平面截圆柱体所得立体的体积垂直于x轴的截面为直角三角形解取坐标系如图底圆方程为,222RyxxyoRx截面面积22)(xRhyhxA立体体积dxxRhVRR22.212hR例6求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积垂直于x轴的截面为等腰三角形xoyAB1M2M1nMBMMMAn,,,101、平面曲线弧长的概念三、平面曲线的弧长并依次连接相邻分点,接折线，其长为且每个小弧段的长度都趋向于零时,在弧上插入得内0MnM称此曲线弧为可求长的。||11niiiMM的极限存在，设曲线弧AB,分点称此极限为曲线弧AB的弧长当分点无限增多,||11niiiMMxNMTRxdxxyodydxds22)()(dydxds弧微分：是否所有的曲线弧都是可求长的？定理：光滑或分段光滑的曲线弧是可求长的。如何求弧长xy1sinxoyabxdxx22)()(dydxdxy21弧长元素dxyds21弧长.12dxysba2、直角坐标情形设曲线弧为y=f(x))(bxa其中y=f(x)在[a,b]上有一阶连续导数,取积分变量为x在[a,b]上任取小区间[x,dx]小切线段的长:x=g(y))(dycx=g(y)在[c,d]y在[c,d][y,y+dy]dyx21dyxds21.12dyxsdc解,21xydxxds2)(121,1dxx所求弧长为dxxsba1].)1()1[(322323ababbax23)1(32求弧长步骤:(1)确定积分变量(2)求弧微分(3)积分例1计算曲线2332xy相应于x从a到b的一段弧的长度解nnxny1sin,sinnxdxysba21dxnxn0sin1ndtt0sin1dtttttn0222cos2sin22cos2sindtttn02cos2sin.4n(令x=nt)例2计算曲线dnynx0sin)0(nx的弧长曲线弧为,)()(tytx)(t22)()(dydxds222))](()([dtttdttt)()(22弧长.)()(22dttts3、参数方程情形其中在上具有连续导数)(),(tt],[解taytax33sincos)20(t根据对称性14ssdtyx20224dttta20cossin34.6aaaoyx例3求星形线(a0)的全长323232ayx曲线弧为)()(rrsin)(cos)(ryrx)(22)()(dydxds,)()(22drr弧长.)()(22drrs4、极坐标情形)(r其中在上具有连续导数)(],[)0(a解drrs)()(22313cos3sin32ar,3cos3sin2a.23adaa2426230)3(cos)3(sin)3(sinda230)3(sin)30(例4求极坐标系下曲线的长33sinar解,ardrrs)()(22.)412ln(412222adaa20222例5求阿基米德螺线(a0)上ar2相应于从0到的弧长da2021直角坐标系：参数方程：极坐标系：弧微分求法：四、小结22)()(dydxds)(xfydxyds21)(yxdyxds21,)()(tytxdtyxdstt22,)()(22drrds)(rr坐标系曲线方程弧微分