平方差公式精讲

肖炳峰上初一的小明和爸爸一起去看刚买的新房，有一间长方形的居室，两人测量了一下：长为5.1米，宽为4.9米。爸爸拿出纸和笔正要计算一下面积，小明就算好了。爸爸很纳闷：你没用纸笔，也没用计算器，这么快就算出来了？灰太狼开了租地公司,一天他把一边长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植.有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,再继续租给你,你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说道:“村长，您吃亏了!”慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊这是为什么吗?(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn温故知新：多项式与多项式是如何相乘的？多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。（未合并同类项之前有四项）利用多项式乘法法则计算1.（a+5）（a-5）=2.（m+2）（m-2）=3.（1+3a）（1-3a）=4.（x+5y）（x-5y）=a2-25m2-41-9a2x2-25y2a2－52m2－2212－(3a)2x2－（5y）2算一算，比一比，看谁算得又快又准思考：以小组为单位计算，一人一题，观察并讨论以上算式及其运算结果有什么特点和规律？你能用字母表达式表示这一规律吗？（组内交流、小组展示）22ababab代数法证明几何法证明两数的和与这两数的差的乘积，等于这两个数的平方差。学习目标1：推导平方差公式，会用几何图形解释公式。返回证明：根据多项式乘多项式法则：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2你能根据下图中的面积说明平方差公式吗？aabba+bbba-b(a-b)(a+b)a2-b2=abab如图：在边长为a的大正方形的一角剪去一个边长为b的小正方形。（1）图中的红色部分部分面积是__________22ba（2）你能否将红色部分拼成一个完整的长方形图案吗？))((baba你拼出的长方形的面积是________________思考：1、哪类多项式乘法可以用平方差公式？平方差公式有什么结构特点？2、应用平方差公式的关键是什么？自学课本P111页例1、例2，然后组内讨论，派代表发言目标2：能运用平方差公式进行熟练地计算(a+b)(a-b)=a2-b2特征:两个数的和这两个数的差这两数的平方差(a+b)(a-b)=a2-b2特征:两个二项式相乘(a+b)(a-b)=a2-b2特征:相同(a+b)(a-b)=a2-b2特征:相反数(a+b)(a-b)=a2-b2特征:平方差(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式的特征，在学习时应注意：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．（3）公式中的a,b可以表示一个单项式也可以表示一个多项式.(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-120.3x1(0.3x)2-12(a+b)(a-b)前面符号相同的项前面符号相反的项两数和与这两数差的积关键是确定a和b22ababab两数的和与这两数的差的乘积，等于这两个数的平方差。右：这两个数的平方差符号相同项的平方减去符号相反项的平方.公式中a、b可表示(1)具体数(2)单项式(3)多项式左：两数和与这两数差的积两括号内分别有一项相同，另一项互为相反数.平方差公式记忆口诀：两数和，两数差，等于两数的平方差。灰太狼开了租地公司,一天他把一边长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植.有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,再继续租给你,你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说道:“村长，您吃亏了!”慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊这是为什么吗?5米5米a米(a-5)(a+5)米相等吗？原来现在a2(a+5)(a-5)上初一的小明和爸爸一起去看刚买的新房，有一间长方形的居室，两人测量了一下：长为5.1米，宽为4.9米。爸爸拿出纸和笔正要计算一下面积，小明就算好了。爸爸很纳闷：你没用纸笔，也没用计算器，这么快就算出来了？例1：运用平方差公式计算:(1)(3x+2)(3x-2);分析:在(1)中,可以把3x看成a,2看成b,即(a+b)(a-b)=a2-b2(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.(2)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.(2)(-x+2y)(-x-2y).新知应用计算：(4a1)(4a1)．(1)2−(4a)2(4a−1)×(4a−1)（−1−4a）×（−1+4a）方法一：利用加法交换律，变成公式的形式1−16a2解：原式=====1−16a2计算：(4a1)(4a1)．方法二：提取两“−”号中的“−”号变成公式的形式)14(14aa原式1414aa2214a1162a1a414）（a法一利用加法交换律，变成公式标准形式．(3x−5)(3x−5)=(5)2−(3x)2=25−9x2．法二提取两“−”号中的“−”号，变成公式标准形式．(3x−5)(3x−5)=－[(3x)2−52]=25−9x2．=(5－3x)(－5＋3x)=-(3x+5)(3x−5)例5用两种方法计算(3x5)(3x5)例2：计算（1）102×98（2）（y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)解:（1）102×98=（100+2）（100-2）=1002-22=10000-4=9996（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+5y-y-5)=y2-22-y2-5y+y+5=-4y+1注意：只有符合平方差公式特征的算式才可以应用此公式。纠错练习(1)(1+2x)(1−2x)=1−2x2(2)(2a2-b2)(2a2+b2)=2a4−b4(3)(3m+2n)(3m−2n)=3m2−2n2(本题对公式的直接运用，加深对公式本质特征的理解)判断下列计算是否正确原式=1-（2x）2=1-4x2原式=（2a2）2-（b2）2=4a4-b4原式=（3m）2-（2n）2=9m2-4n2下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是()能用的请计算出结果。（1）(x+1)(1+x)（2）(a+b)(b-a)（3）(-a+b)(a-b)（4）(x2-y)(x+y2)（5）(-a-b)(a-b)（6）(c2-d2)(d2+c2).（7）(x+y+1)(x-y-1)2、5、6、7新知应用22ab22ab442222dcdc221yxyyx2122（1）(a+3b)(a-3b)=4a2－9=4x4－y2=a2－9b2=(2a)2-32=(-2x2)2－y2=(5+0.1)(5-0.1)=25-0.01=24.99=a2－(3b)2（2）(3+2a)(2a-3)（3）5.1×4.9（4）(-2x2-y)(-2x2+y)自我检测=52－0.121.下列计算对不对？如果不对，怎样改正？4422222)2)(2(bababa2))6)(6(xx错6)6)(6(2xxx1)分析：最后结果应是两项的平方差错)2)(2(2222baba3)2222425)2()5()25)(25(babababa分析：应先观察是哪两个数的和与这两个数的差错)25)(25(baba分析：应将当作一个整体，用括号括起来再平方22a226x362x2222)()2(ba444ba22)5()2(ab22254ab自我检测1.下列多项式相乘，哪些可用平方差公式？怎样用公式计算？1)(a+b)(-b+a)2)(ab+1)(-ab+1)3)(-2xy+z)(-2xy-z)4)(a2-3bc)(3bc+a2)5)(a+b)(b-c)6)(a+b)(-a-b)=(a+b)(a-b)=(1+ab)(1-ab)=(z-2xy)[-(z+2xy)]2.(a+b+c)(a+b-c),是否可用平方差公式计算？怎样应用公式计算？解：(a+b+c)(a+b-c)=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b)2-c2=(a+b)(a+b)–c2=(a2+ab+ab+b2)–c2=(a2+2ab+b2)–c2=a2+2ab+b2–c23.将下列各式变形为可利用平方差公式计算的形式：1)(a+2b+3)(a+2b-3)2)(a+2b-3)(a-2b+3)3)(a-2b+3)(a-2b-3)4)(a-2b-3)(a+2b-3)5)(3a-5b-2c)(-3a-5b+2c)6)(x+y+m+n)(x+y-m-n)[(a+2b)+3][(a+2b)-3][a+(2b-3)][a-(2b-3)][(a-2b)+3][(a-2b)-3][(a-3)-2b][(a-3)+2b][(-5b)+(3a-2c)][(-5b)-(3a-2c)][(x+y)+(m+n)][(x+y)-(m+n)]4.下列各式哪些能用平方差公式计算？怎样用？1)(a-b+c)(a-b-c)2)(a+2b-3)(a-2b+3)3)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)4)(a-b+c-d)(-a-b-c-d)4.下列各式哪些能用平方差公式计算？怎样用？1)(a-b+c)(a-b-c)解：1)(a-b+c)(a-b-c)=[(a-b)+c][(a-b)-c]=(a-b)2–c2=(a2-2ab+b2)–c2=a2-2ab+b2–c24.下列各式哪些能用平方差公式计算？怎样用？2)(a+2b-3)(a-2b+3)解：2)(a+2b-3)(a-2b+3)=[a+(2b-3)][a-(2b-3)]=a2-(2b-3)2=a2-(2b-3)(2b-3)=a2-(4b2-12b+9)=a2-4b2+12b-94.下列各式哪些能用平方差公式计算？怎样用？3)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)4)(a-b+c-d)(-a-b-c-d)解:3)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=[(2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]=(2x+5)2-(y-z)2=……解:4)(a-b+c-d)(-a-b-c-d)=[(-b-d)+(a+c)][(-b-d)-(a+c)]=(-b-d)2-(a+c)2=……5.计算：1)(y+2)(y-2)-(3-y)(3+y)2)–3x(x+1)(x-1)-x(3x+2)(2-3x)3)–4(2y-)(+2y)+3(2y-3)(2y+1)4)(x+)(x2+)(x-)解：1)(y+2)(y-2)-(3-y)(3+y)=(y2-4)–(9-y2)=y2-4–9+y2=2y2-1321213131915.计算：1)(y+2)(y-2)-(3-y)(3+y)2)–3x(x+1)(x-1)-x(3x+2)(2-3x)3)–4(2y-)(+2y)+3(2y-3)(2y+1)4)(x+)(x2+)(x-)解：2)–3x(x+1)(x-1)-x(3x+2)(2-3x)=–3x(x2-1)-x(4-9x2)=–3x3+3x–4x+9x3=6x3-x21213131915.计算：1)(y+2)(y-2)-(3-y)(3+y)2)–3x(x+1)(x-1)-x(3x+2)(2-3x)3)–4(2y-)(+2y)+3(2y-3)(2y+1)4)(x+)(x2+)(x-)2121313191=-16y2+1+12y2-12y-9=-4y2-12y-8解:3)–4(2y-)(+2y)+3(2y-3)(2y+1)2121=-4(4y2-)+3