行列式的计算技巧与方法总结

1行列式的几种常见计算技巧和方法2.1定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321jjjjaaaa．显然，如果41j，那么011ja，从而这个项就等于零．因此只须考虑41j的项，同理只须考虑1,2,3432jjj的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314aaaa，而64321，所以此项取正号．故0004003002001000=241413223144321aaaa.2.2利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式．2.2.1化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：2nnnnnaaaaaaaaaaaaa2211nn333223221131211000000，nnnnnnnaaaaaaaaaaaaa2211321333231222111000000.例2计算行列式nnnnbaaaaabaaaa21211211n111D.解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的1倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的1倍分别加到第2,3…（1n）行上去，可得121n11210000D000nnnaaabbbbb.2.2.2连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．3例3计算行列式mxxxxmxxxxmxDnnnn212121.解：mxxmxxmxmxxxmxnniinniinnii212121nDmxxxmxxxmxnnnnii2221111mmxxmxnnii0000121mxmniin11.2.2.3滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4计算行列式2122123123122121321Dnnnnnnnnnnn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有41111111111111111321Dnnn1111120022200021321nn0111100011000011132122nnn21211nnn.2.2.4逐行相加减对于有些行列式，虽然前n行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5计算行列式111110000000000000D32211nnaaaaaaa.解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D321nnaaaannnnaaanaaan21n21n2211111.2.3降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．52.3.1按某一行（或列）展开例6解行列式1221n1000000000100001Daaaaaxxxxnnn.解：按最后一行展开，得nnnnnaxaxaxaD12211.2.3.2按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了1-nk1k个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即nn2211AMAMAMD，其中iA是子式iM对应的代数余子式．即nnnnnnnnnnBABCA0，nnnnnnnnnnBABCA0.例7解行列式bbbaaaanD.解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加6到第二列，得0000000Dnbaaaa0000000021nbaaaan000021nban21n2nabn.2.4升阶法就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．7例8解行列式D=0111110111110111110111110.解：使行列式D变成1n阶行列式，即0111010110110101110011111D.再将第一行的1倍加到其他各行，得：D=1000101001001010001111111.从第二列开始，每列乘以1加到第一列，得：100000100000100000101111)1nD（1n11n.2.5数学归纳法8有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9计算行列式cos210001cos200000cos210001cos210001cosnD.解:用数学归纳法证明.当1n时，cos1D.当2n时，2cos1cos2cos211cos22D.猜想，nDncos.由上可知，当1n，2n时，结论成立．假设当kn时，结论成立．即：kDkcos.现证当1kn时，结论也成立．当1kn时，cos210001cos200000cos210001cos210001cos1kD.将1kD按最后一行展开，得9cos20000cos21001cos21001coscos21D111kkk10000cos21001cos21001cos11kk1cos2kkDD.因为kDkcos，sinsincoscoscos1cos1kkkkDk，所以1kD1cos2kkDDsinsincoscoscoscos2kkksinsincoscoskk1cosk.这就证明了当1kn时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立．即：nDncos.2.6递推法技巧分析：若n阶行列式D满足关系式10021nnncDbDaD.则作特征方程02cbxax.①若0，则特征方程有两个不等根，则1211nnnBxAxD．②若0，则特征方程有重根21xx，则11nnxnBAD．在①②中，A，B均为待定系数，可令2,1nn求出．例10计算行列式94000005940000000594000005940000059Dn.解：按第一列展开，得21209nnnDDD.即020921nnnDDD．作特征方程02092xx.解得5,421xx.则1154nnnBAD.当1n时，BA9；11当2n时，BA5461.解得25,16BA，所以1145nnnD.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和．3.1.2例题解析例11计算行列式nnnnaaaaaaaa1100010000011000110001D133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得12nnnnaaaaaaaa11000010000001100001010001D133221.110001000001100010000110001000001100011000113322113322nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa上面第一个行列式的值为1，所以nnnnaaaaaaa11001000010011D13321111nDa.这个式子在对于任何2nn都成立，因此有111nnDaD13nnnaaaaaaDaa2112112211111ijjiia1n111.3.2构造法3.2.1概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值．3.2.2例题解析例12求行列式nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD21222212222121111.解：虽然nD不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1n阶的范德蒙德行列式来间接求出nD的值．构造1n阶的范德蒙德行列式，得nnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf21111211222221222221211111.将xf按第1n列展开，得14nnnnnnnnxAxAxAAxf1,111,1,21,1，其中，1nx的系数为nnnnnnDDA11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知nijjinxxxxxxxxxf121.由上式可求得1nx的系数为nijjinxxxxx121.故有nijjinnxxxxxD121.3.3特征值法3.3.1概念及计算方法设n，，21是n级矩阵A的全部特征值，则有公式nA21.故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可以计算出A的行列式．3.3.2例题解析例13若n，，21是n级矩阵A的全部特征值，证明：A可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为nA21，则A可逆niin2,1000A21.15即A可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1三角形行列式4.1.1概念形如nnnnnaaaaaaaaaa333223221131211，nnnnnaaaaaaaaaa321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式．4.1.2计算方