数学分析与高等代数考研真题详解--中科院卷

博士家园考研丛书（2010版）全国重点名校数学专业考研真题及解答数学分析与高等代数考研真题详解中国科学院数学专卷博士家园编著博士家园系列内部资料2《博士家园数学专业考研丛书》编委会这是一本很多数学考研人期待已久的参考书，对于任何一个想通过考取重点院校的研究生来进一步深造的同学来说，历年的各个院校的真题的重要性是显而易见的。为了帮助广大同学节约时间进行复习，为了使辅导教师手头有更加详尽的辅导材料，我们从2004年开始大量收集数学专业的考研真题，其中数学分析和高等代数两门专业基础课最为重要。有些试题还很难收集或者购买，我们通过全新的写作模式，通过博士家园(),这个互联网平台，征集到了最新最全面的专业试题，更为令人兴奋和鼓舞的是，有很多的高校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！国际数学大师陈省身先生提出：“要把中国建成21世纪的数学大国。”每年有上万名数学专业的学生为了更好的深造而努力考研，但是过程是艰难的。我们为了给广大师生提供更多更新的信息与资源建立了专业网站——博士家园网站。本站力图成为综合性全国数学信息交换的门户网站，旨在为科研人员和数学教师服务，提供与数学研究和数学教学有关的一切有价值的信息和国内外优秀数学资源检索，经过几年的不懈努力，成为国内领先、国际一流的数学科学信息交流中心之一。由于一般的院校可能提供一些往年试题，但是往往陈旧或者没有编配解答，很多同学感到复习时没有参照标准，所以本丛书挑选了重点名校数学专业的试题，由众多编委共同编辑整理成书。在此感谢每一位提供试题的老师，同时感谢各个院校的教师参与解答。以后我们会继续更新丛书，编入更新的试题及解答，希望您继续关注我们的丛书系列。也欢迎您到博士家园数学专业网站参加学术讨论，了解考研考博，下载最新试题：博士家园主页网址：博士数学论坛网址：数学资源库:欢迎投稿，发布试题，对于本书疏漏之处欢迎来信交流，以促改正：@163.com博士家园二零一零年二月博士家园系列内部资料2数学分析与高等代数考研真题详解中国科学院考研数学专卷目录中国科学院考研数学专卷...............................................................................................................32000年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题..................................................................32000年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答..........................................................42000年招收硕士研究生入学考试《线代解几》试题..................................................................62000年招收硕士研究生入学考试《线代解几》解答..................................................................72001年中科院数学与系统科学研究所《高等代数》试题及解答............................................102002年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题................................................................162003年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题................................................................172003年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答........................................................182003年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题................................................................242003年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答........................................................252004年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题................................................................282004年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答........................................................292004年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题................................................................322004年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答........................................................332005年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答....................................................372005年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题................................................................412005年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答........................................................432006年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题................................................................512006年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答........................................................522006年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题................................................................552006年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答........................................................572007年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答....................................................642007年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答....................................................692008年招收硕士研究生入学考试《数学分析》部分试题及解答............................................752009年招收硕士研究生入学考试《高等代数》两试题及解答................................................782010年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答....................................................802010年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答....................................................86中科院数学所复试时遇到的题目.................................................................................................96博士家园系列内部资料3中国科学院考研数学专卷2000年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题1．（15分）定义函数32222,0(,)0,0xxyfxyxyxy⎧+⎪=+⎨⎪==⎩,证明函数(,)fxy在(0,0)处连续但是不可微．2．(20分)设()lnnnfxxx=,n是自然数：(i)证明()(1)1()()1,1,2,...!(1)!nnnnfxfxnnnn−−=+=−(ii)计算极限()1()lim!nnnfnn→∞．3．(15分)在3R中,由下列平面1,,0,0,yyxxzzx==−===−围成的闭区域记为D,计算积分xyzDIedxdydz++=∫∫∫．4．(15分)定义向量场2222222222(,),,0xyxyxeyeFxyxyxyxy++⎛⎞⎜⎟=+⎜⎟++⎝⎠证明(,)Fxy是有势场,并求出(,)Fxy的一个势函数．5．(25分)设01(),[0,)2nnfxxx∞==∈+∞+∑．证明：(i)()fx在[0,)+∞上连续；(ii)lim()0xfx→+∞=；(iii)对一切(0,)x∈+∞有ln(1)10()ln21xfxxx+−+．6．(10分)设()fx在[,]aa−上有连续的导数,证明:01cos()()lim()aaaxfxfxfxdxdxxxλλ−→∞−−−=∫∫．博士家园系列内部资料42000年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答∗1．证对于任意的0ε,当2222xyrε+=时,假设cos,sinxrtyrt==,则有3332cos(,)(0,0)0cos||rtfxyfrtrrε−=−=≤不妨假设δε=,当22xyδ+时,便有|(,)(0,0)|fxyfε−,所以根据定义,连续性获得证明．求偏导数0(,0)(0,0)(0,0)lim1xxfxffxΔ→Δ−==Δ,0(0,)(0,0)(0,0)lim0yyfyffyΔ→Δ−==Δ考虑极限(利用坐标变换cos,sinxrtyrtΔ=Δ=)22,0(,)(0,0)(0,0)(0,0)limxyxyfxyffxfyxyΔΔ→ΔΔ−−Δ−ΔΔ+Δ2223,0lim()xyxyxyΔΔ→−ΔΔ=Δ+Δ3230cossinlimrrttr→−=20limcossinrtt→=−,显然可以知道这个极限和t有关,即极限和路径有关,所以极限不存在,从而由定义可知是不可微的．■2．(i)证对()nfx求导1111'()ln()nnnnnfxnxxxnfxx−−−−=+=+,再对等式两边1n−次导,便有()(1)1()()(1)!nnnnfxnfxn−−=+−,两边同时除!n便知命题成立．■(ii)解:利用第(i)小题的结论易知()()111...ln!2nnfxxnn=++++从而有()1()111...ln!2nnfnnnn=+++−,所以可知()1()lim!nnnfnCn→∞=(欧拉常数)■3．解利用分部积分有1010zxyzxIedzedxedy−−=∫∫∫,积分得到221Iee=−−．■4．证令22222222,xyxyxeyePQxyxy++==++,则要F是有势场,也就是要PQyx∂∂=∂∂,而博士家园系列内部资料522222211xyxyPxyeyxy+−+∂=∂+,22222211xyxyQxyexxy+−+∂=∂+,从而就知道了F是有势场．而假设F在00(,)xy的势为0W,则在(,)xy处的势为222200(,)