(中学生数学201603)利用向量线性表示求一类线段长

利用向量线性表示求一类线段长浙江省东阳市顺风高级中学刘光红向量既具有代数的运算性，又具有几何的直观性，是数与形结合的典范，在解决三角形中顶点与对边上的点的距离问题时，若能以下面的结论为依据，经过适当处理，便可省去一些繁杂的运算，使此类问题迎刃而解。结论：若向量CA、CB不共线，点D在线段AB上，且满足ADnDBm，则有mnCDCACBmnmn。证明：如图所示，ADnDBm，nADDBm，又ADCDCA，DBCBCD，()nCDCACBCDm，mnCDCACBmnmn。应用这一结论解决向量中的某些问题时方便、简洁、快速。例1．（如图2）在△ABC中，10AB，点D为线段AB的中点，且16CACB，求CD=。解析：因为点D是线段AB的中点，所以11=22CDCACB2211=22CDCACB（）21(+2)4CACBCACB2，224(+2)CDCACBCACB2，又因为10ABCBCA，2100(2)CACBCACB2，两式相减，21004464CDCACB，求得2=9CD，=3CD。评注：题中给出点D为AB的中点，所以可以直接用向量CA和向量CB表示向量CD，即11=22CDCACB，再平方代入数量积，把AB也用CA和CB表示，平方后两式相减，进而求得CD。例2．（如图3）在△ABC中1CB，3CA，C的平分线交AB于点D，且满足2CACB，求CD=。解析：因为C的平分线交AB于点D，1CB，3CA，由角平分线定理知，3ADDB，根据上述CABD图3CABD图2图1结论可以得到1344CDCACB，两边平方得：222193+16168CDCACBCACB，30=4CD。评注：根据题意可知，角平分线CD分对边成比例，即3ADCADBCB，根据结论可知，向量CD可以用向量CA、CB表示，即1344CDCACB，再将两侧平方，代入求得CD的值。例3.（如图4）在△ABC中，3AB，=60A，A的平分线交BC于点D，13ADACAB，则AD=。解析：因为A的平分线交BC于点D，CDACDBAB，根据已知条件13ADACAB和向量线性结论可知，1=13，又3AB，6AC，将1233ADACAB两侧平方，结合数量积公式和=60A可以求得2=12AD，=23AD。评注：本题主要根据向量线性关系结论和三角形内角平分线性质，得到三角形AC边长，再将线性表示式平方，转化为数量积和两边平方和的关系，求出角平分线长度。例4．（如图5）在△ABC中，6AB，3AC，=60A，点D在BC上，且满足3CDDB，求AD的长度解析：因为点D在BC上，且3CDDB，根据线性关系的结论可知，1344ADACAB，将其两边平方，得到222193+16168ADACABACAB，又=63cos60ACAB，343=4AD评注：根据条件3CDDB可知，向量AD可以用AB、AC表示成1344ADACAB，只须求AB、AC的模和他们的数量积就可以求出AD。向量的很多性质在解题中都有很好的应用，利用向量中三点共线的线性结论，在求三角形的中线长、角平分线长等顶点与对边上的点的距离问题上有独特的表现，使解题过程清晰明了，避免了解三角形的繁琐。手机：[phone]邮箱：[e-mail]：113452407ABCD图5ABCD图4