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1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算在初中几何里,我们学习过角的度量,1度的角是怎样定义的呢?周角的为1度的角。1360这种用1º角作单位来度量角的制度叫做角度制,今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。1.圆心角、弧长和半径之间的关系:角是由射线绕它的端点旋转而成的,在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧,不同的点所形成的圆弧的长度是不同的,但都对应同一个圆心角。ABABrr=定值,设α=nº,弧长为l,半径OA为r,则,可以看出,等式右端不含半径,表示弧长与半径的比值跟半径无关,只与α的大小有关。AB22,360360rllnnr结论:可以用圆的半径作单位去度量角。2.定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。注:今后在用弧度制表示角的时候,弧度二字或rad可以略去不写。3.弧度制与角度制相比:(1)弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;1弧度≠1º;(2)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小,而1度是圆周的所对的圆心角的大小;1360(3)弧度制是十进制,它的表示是用一个实数表示,而角度制是六十进制;(4)以弧度和度为单位的角,都是一个与半径无关的定值。4.公式:,表示的是在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角是αrad。lr5.弧度制与角度制的换算①用角度制和弧度制度量角,零角既是0º角,又是0rad角,同一个非零角的度数和弧度数是不同的.②平角、周角的弧度数:平角=rad、周角=2rad.③正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0.④角的弧度数的绝对值:(l为弧长,r为半径)rl⑤∵360=2rad,∴180=rad∴1=rad0.01745rad18018057.305718'1rad6.用弧度制表示弧长及扇形面积公式:弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积.①弧长公式:rl由公式:rlrl比公式简单.180rnl②扇形面积公式lRS21其中l是扇形弧长,R是圆的半径。证明:设扇形所对的圆心角为nº(αrad),则2213602nSRR又αR=l,所以lRS21证明2:因为圆心角为1rad的扇形面积是22122RR而弧长为l的扇形的圆心角的大小是rad.lR所以它的面积是lRS21例1.(1)把112º30′化成弧度(精确到0.001);(2)把112º30′化成弧度(用π表示)。解:(1)112º30′=112.5º,10.0175180所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.(2)112º30′=112.5×=.18058例2.把化成度。85858180()5288解:1rad=180()例3.填写下表:角度0°30°45°60°90°120°弧度角度135°150°180°210°225°240°弧度角度270°300°315°330°360°弧度0π2π643223345632例4.扇形AOB中,所对的圆心角是60º,半径是50米,求的长l(精确到0.1米)。ABAB解:因为60º=,所以3l=α·r=×50≈52.5.3答:的长约为52.5米.AB例5.在半径为R的圆中,240º的中心角所对的弧长为,面积为2R2的扇形的中心角等于弧度。解:(1)240º=,根据l=αR,得4343lR(2)根据S=lR=αR2,且S=2R2.2121所以α=4.例6.与角-1825º的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。解:-1825º=-5×360º-25º,所以与角-1825º的终边相同,且绝对值最小的角是-25º.合536例7.已知一半径为R的扇形,它的周长等于所在圆的周长,那么扇形的中心角是多少弧度?合多少度?扇形的面积是多少?解:周长=2πR=2R+l,所以l=2(π-1)R.所以扇形的中心角是2(π-1)rad.合()º360(1)扇形面积是2(1)R
本文标题:弧度和角度的换算
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