(计算机图形学)自由曲线曲面

第七章7.1基本概念7.2Bezier曲线7.3Bezier曲面7.4B样条曲线7.5B样条曲面7.6本章总结本章内容曲线曲面概述图形学中一个很复杂的又非常重要的研究领域。曲线曲面才是造型的真正统治者，它占据了我们生活和幻想中的造型的绝大部分。但曲线曲面又是如此地难以理解，让人们在一段很长很长的时间内无法征服它。自由曲线和曲面规则的曲线和曲面，比如：圆和球，可以用固定的函数表达式来构造，但是他的造型能力有限，我们这儿不讨论。自由曲线和曲面是指那些形状比较复杂、不能用初等解析函数直接表示出来的曲线和曲面。•它的应用极为广泛，在动画领域上举足轻重，在造型工业设计上更是独占鳌头。汽车车身、飞机机翼和轮船船体等的曲线和曲面均属于这一类。7.1基本概念7.1.1曲线与曲面的表示形式已知直线段的起点坐标P0（x0,y0）和终点坐标P1（x1,y1），直线段的显式方程表示为001010xxyyxxyy隐函数方程表示为0)(),(001010xxxxyyyyyxf参数方程表示为tyyyytxxxx)()(010010，t∈〔0,1〕工业上常使用优点：易推导至高维；改变t值得到一条轨迹，直观；不同参数方程可得到同一曲线7.1.2曲线构造方法插值法给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,…,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。逼近法构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点(但未必通过这些点)，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线称为逼近曲线。插值和逼近统称为拟合。在前面的插值法中，如果给定的点（叫做型值点）太多，很难构造插值函数，因此可以适当的放弃一些型值点。型值点：是用于确定曲线和曲面的位置与形状，且相应曲线或曲面一定经过的点。控制点：是用于确定曲线和曲面的位置与形状，但相应曲线或曲面不一定经过。插值点：是在型值点或控制点值之间插入的一系列点。曲线构造方法判断哪些是插值、哪些是逼近插值法线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用线形函数近似代替f(x)，称为的线性插值函数。插值法抛物线插值(二次插值):已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造函数￠(x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相等。光顺：曲线拐点不能太多。对平面曲线来讲，相对光顺的条件是：具有二阶几何连续性不存在多余的拐点和奇异点曲率变化较小连续性条件在拟合过程中，不同控制点和型值点控制的曲线段不一样，我们可能用多组曲线段去组合一条最终的拟合曲线，多条曲线首尾相连形成一条曲线，为了让连接处具有合乎要求的连续性，因此需要定义连续性条件Examples:Thesetwocurvesdonotfittogetheratall.Thesetwocurvesfittogether,butnotsmoothly.Thesetwocurvesfittogethersmoothly.连续性条件参数连续性，用C阶数表示C0连续（0阶参数连续）——指曲线相连，前一段曲线的终点t=1与后一段曲线的起点t=0相同，即相邻两段曲线结合点处有相同坐标。C1连续（一阶参数连续）——代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数（切线）。（一阶导数反映了曲线对参数t的变化速度）C2连续（二阶参数连续）——两个曲线段在交点处有相同的一阶和二阶导数。（二阶导数反映了曲线对参数t的变化的加速度）连续性条件几何连续性，用G阶数表示，其只要求参数成比例。G0连续（0阶几何连续）——与C0连续相同。G1连续（一阶几何连续）——指一阶导数在两个相邻段的交点处成比例但不一定相等。G2连续（二阶几何连续）——指两个曲线段在相交处其一阶和二阶导数均成比例。G2连续性下，两个曲线段在交点处的曲率相等。在实际的曲线造型应用中，我们要适当地选择曲线段间的连续性，使造型物体既能保证其光滑性的要求，也能保证其美观性的要求，一般只使用C1,C2和G1,G2连续。7.2Bezier曲线BezierBezier曲线由法国雪铁龙（Citroen）汽车公司的deCasteljau于1959年发明，后来又由法国雷诺（Renault）汽车公司的工程师Bezier于1962年独立发明。DeCasteljau几种典型的Bezier曲线In1959,whileworkingatCitroen,PaulDeCasteljaudevelopedanalgorithmforevaluatingcalculationsonacertainfamilyofcurves,whichwouldlaterbeformalizedandpopularizedbyengineerPierreBezier,andthecurvescalledDeCasteljaucurveorBeziercurve.给定n+1个控制点Pi（i＝0，1，2……n），称为n次Bezier曲线。t∈〔0，1〕式中，Pi（i＝0，1，2……n）是控制多边形的n+1个控制点，控制多边形是连接n条边构成的多边形。Bi,n(t)是Bernstein基函数，其表达式为：7.2.1Bezier曲线的定义)()(,0tBPtpniniiiniinininittCttinintB)1()1()!(!!)(,在实际应用中，最常用的是三次Bezier曲线，其次是二次Bezier曲线，高次Bezier曲线一般很少使用。voidCTestView::DrawBezier()//绘制Bezier曲线{CDC*pDC=GetDC();CPenNewPen,*pOldPen;NewPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(0,0,255));//曲线颜色pOldPen=pDC-SelectObject(&NewPen);pDC-MoveTo(P[0]);for(doublet=0.0;t=1.0;t+=0.01){doublex=0,y=0;for(inti=0;i=n;i++){x+=P[i].x*C(n,i)*pow(t,i)*pow(1-t,n-i);y+=P[i].y*C(n,i)*pow(t,i)*pow(1-t,n-i);}pDC-LineTo(Round(x),Round(y));}pDC-SelectObject(pOldPen);NewPen.DeleteObject();ReleaseDC(pDC);}doubleCTestView::C(constint&n,constint&i)//Bernstein第一项{returndouble(Fac(n))/(Fac(i)*Fac(n-i));}longCTestView::Fac(intn)//阶乘函数{intf;if(0==n||1==n)f=1;elsef=n*Fac(n-1);returnf;}Power幂，Factorial，阶乘当n＝1时，Bezier曲线的控制多边形有二个控制点P0和P1，Bezier曲线是一次多项式。一次Bezier曲线是一段直线。)()(P)()(1,111,001,10tBPtBtBPtpiii1.一次Bezier曲线10Pt)(1Pt2.二次Bezier曲线当n＝2时，Bezier曲线的控制多边形有三个控制点P0、P1和P2，Bezier曲线是二次多项式。二次Bezier曲线是一段抛物线。BPP)()(2,222,112,002,20BPBtBPtpiiiPt)1(2Pt)(122102Ptt当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形有四个控制点P0、P1、P2和P3，Bezier曲线是三次多项式。三次Bezier曲线是段自由曲线。PtPt)-(1t3)1(3Pt)(133221203PttPtP)3tt3()363(1)P3t-3tt(33223123023Pttt3.三次Bezier曲线，，，。BPBPP)()(3,332,323,113,003,30BPBtBPtpiii3.三次Bezier曲线，，，。写成矩阵形式为t∈〔0，1〕32102300010033036313311PPPPttt32103,33,23,13,0)(PPPPBBBBtp三次Bezier曲线的Bernstein基函数：3233,0)1(133)(tttttB2233,1)1(3363)(ttttttB)1(333)(2233,2tttttB33,3)(ttB4个基函数B0,3(t)B3,3(t)B1,3(t)B2,3(t)Ot在区间〔0,1〕范围内，每个基函数均不为零，说明不能使用控制多边形对曲线的形状进行局部调整，如果要改变某一控制点位置，整条曲线都将受到影响。7.2.2Bernstein基函数及曲线的性质1.非负性：t∈〔0，1〕（i＝0，1，2……n）iniinininittCttinintB)1()1()!(!!)(,0)(,tBni2.权性：1)1()1()(00,nniiniinninittttCtB，t∈〔0，1〕•凸包性0)(,tBni1)(0,ninitB由Bernstein基函数的非负性和权性可知，在闭区间〔0，1〕内，，而且说明Bezier曲线位于控制多边形构成的凸包之内，而且永远不会超出凸包的范围。P0P0P1P22.端点性质0,00,1)0(,iiBnininiBni,0,1)1(,，这里用到：00＝1，0!=1曲线端点必经过控制多边形的端点当t＝0时，p(0)＝P0；当t＝1时，p(1)＝Pn。4.对称性（即从左到右，从右到左是对称的）)(,))1(1()1()1(innininnninttCtBinninCC因为：)()1()1(,,tBttCtBniiniinnin•对称性iniPP*由控制点，（i＝0，1，2……n），构造出的新Bezier曲线与原Bezier曲线形状相同，但走向相反。ninininniniinniniitBPtBPtBPtp0,0,,0**)1()()()()1()1(,0tptBPninii这个性质说明Bezier曲线在控制多边形的起点和终点具有相同的性质5.导数)()()(1,1,1',tBtBntBninini,（i＝0,1,2……n）•一阶导数))()(()(1,1,110'tBtBPntpnininii)()()()((1,111,011,001,10tBPtBPtBPtBPnnnnn))()()()(1,1,11,111,21tBPtBPtBPtBPnnnnnnnnnnnn)()(11,11niniiitBPPn)()0(01'PPnp)()1(1'nnPPnp在起始点t﹦0,B0,n-1(0)﹦1，其余项均为0，故有:在终止点t﹦1,Bn-1,n-1(1)﹦1，其余项均为0，故有:5.导数)()()(1,1,1',tBtBntBninini,（i＝0,1,2……n）•二阶导数2121202(t))BPP(P)n(n(t)pi,niinii''当t=0时，))()((1)2(100112012PPPP)n(nPPP)n(n)(p''当t=1时，))()((1)2(1121121nnnn