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命题:称能判断真假的陈述句为命题。命题公式:若在复合命题中,p、q、r等不仅可以代表命题常项,还可以代表命题变项,这样的复合命题形式称为命题公式。命题的赋值:设A为一命题公式,p,p,…,p为出现在A中的所有命题变项。给p,p,…,p指定一组真值,称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真,则称成真赋值。真值表:含n(n≥1)个命题变项的命题公式,共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表,称为A的真值表。命题公式的类型:(1)若A在它的各种赋值下均取值为真,则称A为重言式或永真式。(2)若A在它的赋值下取值均为假,则称A为矛盾式或永假式。(3)若A至少存在一组赋值是成真赋值,则A是可满足式。主析取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项,则称该析取范式为A的主析取范式。主合取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项,则称该析取范式为A的主析取范式。命题的等值式:设A、B为两命题公式,若等价式A↔B是重言式,则称A与B是等值的,记作A=B。约束变元和自由变元:在合式公式xA和xA中,称x为指导变项,称A为相应量词的辖域,x称为约束变元,x的出现称为约束出现,A中其他出现称为自由出现(自由变元)。一阶逻辑等值式:设A,B是一阶逻辑中任意的两公式,若A↔B为逻辑有效式,则称A与B是等值的,记作A=B,称A=B为等值式。前束范式:设A为一谓词公式,若A具有如下形式Q1x1Q2x2Qk…xkB,称A为前束范式。集合的基本运算:并、交、差、相对补和对称差运算。笛卡尔积:设A和B为集合,用A中元素为第一元素,用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积,记为A×B。二元关系:如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对,则称集合R是一个二元关系。特殊关系:(1)、空关系:Φ(2)全域关系:EA={x,y|x∈A∧y∈A}=A×A(3)恒等关系:IA={x,x|x∈A}(4)小于等于关系:LA={x,y|x,y∈A∧x≤y∈A},AR(5)整除关系:R={x,y|x,y∈ψ∧xy},ψ是集合族二元关系的运算:设R是二元关系,(1)R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域domR={x|y(x,y∈R)}(2)R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域ranR={y|x(x,y∈R)}(3)R的定义域和值域的并集称为R的域fldR=domR∪ranR二元关系的性质:自反性,反自反性,对称性,反对称性,传递性。等价关系:如果集合A上的二元关系R是自反的,对称的和传递的,那么称R是等价关系。设R是A上的等价关系,x,y是A的任意元素,记作x~y。等价类:设R是A上的等价关系,对任意的x∈A,令[x]R={y|y∈A∧xRy},称[x]R为x关于R的等价类。偏序关系:设R是集合A上的二元关系,如果R是自反的,反对称的和传递的,那么称R为A上的偏序,记作≤;称序偶A,R为偏序集合。函数的性质:设f:AB,(1)若ranf=B,则称f是满射(到上)的。(2)若yranf都存在唯一的xA使得f(x)=y,则称f是单射(——)的。(3)若f既是满射又是单射的,则称f是双射(——到上)的。无向图:是一个有序的二元组V,E,记作G,其中:(1)VФ称为顶点集,其元素称为顶点或结点。(2)E为边集,它是无序积V&V的多重子集,其元素称为无向边,简称边。有向图:是一个有序的二元组V,E,记作D,其中(1)V同无向图。(2)E为边集,它是笛卡尔积VV的多重子集,其元素称为有向边。设G=V,E是一个无向图或有向图。有限图:若V,E是有限集,则称G为有限图。n阶图:若|V|=n,称G为n阶图。零图:若|E|=0,称G为零图,当|V|=1时,称G为平凡图。基图:将有向图变为无向图得到的新图,称为有向图的基图。图的同构:在用图形表示图时,由于顶点的位置不同,边的形状不同,同一个事物之间的关系可以用不同的图表示,这样的图称为图同构。带权图:在处理有关图的实际问题时,往往有值的存在,一般这个值成为权值,带权值的图称为带权图或赋权图。连通图:若无向图是平凡图,或图中任意两个顶点都是连通的,则称G是连通图。否则称为非连通图。设D是一个有向图,如果D的基图是连通图,则称D是弱连通图,若D中任意两个顶点至少一个可达另一个,则称D是单向连通图。若D中任意两个顶点是相互可达的,则称D是强连通图。欧拉图:通过图中所有边一次且仅一次并且通过所有定点的通路(回路),称为欧拉通路(回路)。存在欧拉回路的图称为欧拉图。哈密顿图:经过图中每个顶点一次且仅一次的通路(回路),称为哈密顿通路(回路),存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。平面图:一个图G如果能以这样的方式画在平面上:出定点处外没有变交叉出现,则称G为平面图。画出的没有边交叉出现的图称为G的一个平面嵌入。二部图:若无向图G=〈V,E〉的顶点集合V可以划分成两个子集V1和V2(V1∩V2=),使G中的任何一条边的两个端点分别属于V1和V2,则称G为二部图(偶图)。二部图可记为G=V1,V2,E,V1和V2称为互补顶点子集。树的定义:连通无回路的无向图称为无向树,简称树,常用T表示树。平凡图称为平凡树。若无向图G至少有两个连通分支,每个连通都是树,则称G为森林。在无向图中,悬挂顶点称为树叶,度数大于或等于2的顶点称为分支点。树的性质:性质1、设G=V,E是n阶m条边的无向图,则下面各命题是等价的:(1)G是树(2)G中任意两个顶点之间存在唯一的路径(3)G中无回路且m=n-1.(4)G是连通的且m=n-1.(5)G是连通的且G中任何边均为桥。(6)G中没有回路,但在任何两个不同的顶点之间加一条新边,在所得图中得到唯一的一个含新边的圈。性质2、设T是n阶非平凡的无向树,则T中至少有两片树叶。证:设T有x片树叶,由握手定理及性质1可知,2(n-1)=∑d(vi)≥x+2(n-x)由上式解出x≥2.最小生成树:设T是无向图G的子图并且为树,则称T为G的树。若T是G的树且为生成子图,则称T是G的生成树。设T是G的生成树。e∈E(G),若e∈E(T),则称e为T的树枝,否则称e为T的弦。并称导出子图G[E(G)-E(T)]为T的余树,记作T。最优二元树:设2叉树T有t片树叶v1,v2,…,vt,权分别为w1,w2,…,wt,称W(t)=wil(vi)为T的权,其中l(vi)是vi的层数。在所有有t片树叶,带权w1,w2,…,wt的2叉树中,权最小的2叉树称为最优2叉树。最佳前缀码:利用Huffman算法求最优2叉树,由最优2叉树产生的前缀码称为最佳前缀码,用最佳前缀码传输对应的各符号能使传输的二进制数位最省。集合恒等式:P61幂等律:A∪A=A;A∩A=A结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C);(A∩B)∩C=A∩(B∩C)交换律:A∪B=B∪A;A∩B=B∩A分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)同一律:A∪=A;A∩E=A零律:A∪E=A;A∩=排中律:A∪~A=E矛盾律:A∩~A=吸收律:A∩(A∪B)=A;A∪(A∩B)=A德摩根定律:A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C);A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)~(B∪C)=~B∩~C;~(B∩C)=~B∪~C;~=E;~E=双重否定律:~(~A)=A二元关系的运算:设F,G,H是任意的关系,(1)(F-¹)-¹=F(2)dom(F-¹)=ranF;ran(F-¹)=domF(3)(F◦G)◦H=F◦(G◦H)(4)(F◦G)-¹=G-¹◦F-¹设R是A上的关系(幂运算)(1)Rº={x,x|x∈A}(2)R^n=R^(n-1)◦R,n≥1(3)R◦Rº=Rº◦R=R图的矩阵表示:(1)无向图的关联矩阵:设无向图G=V,E,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em},令mij为顶点vi与边的关联次数,则称(mij)nm为G的关联矩阵。记为M(G)。(2)有向图的关联矩阵:设无向图D=V,E,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em},1,vi是ej的始点mij=0,vi与ej不关联-1,vi是ej的终点则称(mij)nm为D的关联矩阵。记为M(D)。
本文标题:离散数学部分概念和公式总结
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