线性代数期末试题及参考答案

大学生校园网努力打造的学生最实用的网络平台！2010线性代数期末试题及参考答案一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)1．A是n阶方阵，R，则有AA。（）2．A，B是同阶方阵，且0AB，则111)(ABAB。（）3．如果A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。()4．若BA,均为n阶方阵，则当BA时，BA,一定不相似。()5．n维向量组4321,,,线性相关，则321,,也线性相关。（）二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，（）不是初等矩阵。（A）001010100(B)100000010(C)100020001(D)1000120012．设向量组123,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。（A）122331,,（B）1231,,（C）1212,,23（D）2323,,23．设A为n阶方阵，且250AAE。则1(2)AE（）(A)AE(B)EA(C)1()3AE(D)1()3AE4．设A为nm矩阵，则有（）。（A）若nm，则bAx有无穷多解；（B）若nm，则0Ax有非零解，且基础解系含有mn个线性无关解向量；（C）若A有n阶子式不为零，则bAx有唯一解；（D）若A有n阶子式不为零，则0Ax仅有零解。5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（）（A）A与B相似（B）AB，但|A-B|=0大学生校园网努力打造的学生最实用的网络平台！（C）A=B（D）A与B不一定相似，但|A|=|B|三、填空题（每小题4分，共20分）1．01210nn。2．A为3阶矩阵，且满足A3,则1A=______，*3A。3．向量组1111，2025，3247，4120是线性（填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是。4．已知123,,是四元方程组Axb的三个解，其中A的秩()RA=3，11234，234444，则方程组Axb的通解为。5．设23111503Aa，且秩(A)=2，则a=。四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。1．已知A+B=AB，且121342122A，求矩阵B。2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)，而TA，求nA。大学生校园网努力打造的学生最实用的网络平台！3.已知方程组1123211232123xxaxxxxxaxxa有无穷多解，求a以及方程组的通解。4.求一个正交变换将二次型化成标准型32312123222132184422),,(xxxxxxxxxxxxf5．A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。五．证明题（每题5分，共10分）。1．若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，ABBA是否为对称矩阵？证明你的结论。2．设A为mn矩阵，且的秩()RA为n，判断TAA是否为正定阵？证明你的结论。大学生校园网努力打造的学生最实用的网络平台！线性代数试题解答一、1．（F）（AAn）2．（T）3．（F）。如反例：100010000A，000010001B。4．（T）（相似矩阵行列式值相同）5．（F）二、1．选B。初等矩阵一定是可逆的。2．选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关；B中的向量组与1，2，3等价,其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，C、D中的向量组线性相关。3．选C。由052EAA2232()3AAEEAEAEE，112()3AEAE)。4．选D。A错误，因为nm，不能保证()(|)RARAb；B错误，0Ax的基础解系含有ARn个解向量；C错误，因为有可能()(|)1RAnRAbn，bAx无解；D正确，因为()RAn。5．选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵,PQ，使得1112(,,,)nPAPdiagQBQ，因此,AB都相似于同一个对角矩阵。三、1．!11nn（按第一列展开）2．31；53（A3=233A）3．相关（因为向量个数大于向量维数）。124,,。因为3122，大学生校园网努力打造的学生最实用的网络平台！124||0A。4．TTk42024321。因为3AR，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为1322，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。5．6a（)02AAR四、1．解法一：ABBA1()AEBABAEA。将AE与A组成一个矩阵(|)AEA，用初等行变换求1(|())EAEA。|AEA=221121243233121120)(31rr22112124323310000121313,rrrr12112014323010000123rr121120222110100001322rr1000010112220013253r10000101122200132523rr523100301010100001。故523301100B。解法二：ABBA1()AEBABAEA。1021101()332113121326AE，因此1001()103325BAEA。2．解：1111111111111111TA，AA42，大学生校园网努力打造的学生最实用的网络平台！11()()()()()()44nnnTTTTTTTTAA。3．解法一：由方程组有无穷多解，得()(|)3RARAb，因此其系数行列式11||112011aAa。即1a或4a。当1a时，该方程组的增广矩阵1111(|)11211111Ab11012301020000于是()(|)23RARAb，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系13122T，原方程组的一个特解100T，故1a时，方程组有无穷多解，其通解为13100122TTk，当4a时增广矩阵1141(|)112114116Ab1141022000015，()2(|)3RARAb，此时方程组无解。解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。222111111111(|)112102200220110111100(1)(4)12aaaAbaaaaaaaaaa由于该方程组有无穷多解，得()(|)3RARAb。因此21(1)(4)102aaa，大学生校园网努力打造的学生最实用的网络平台！即1a。求通解的方法与解法一相同。4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵122224242A，2122||224(2)(7)242AE因此得到其特征值为122，37。再求特征值的特征向量。解方程组(2)0AEx，得对应于特征值为122的两个线性无关的特征向量1210T，2201T。解方程组(7)0AEx得对应于特征值为37的一个特征向量3122T。再将1210T，2201T正交化为1210Tp，224155Tp。最后将1210Tp，224155Tp，3122T单位化后组成的矩阵即为所求的正交变换矩阵3235032155455311552552，其标准形为232221722yyyf。5．解：（1）由02AEAE知-1，2为A的特征值。02BAB02BEA，故-2为A的特征值，又B的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故A的特征值为-1，2，-2，-2。（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值大学生校园网努力打造的学生最实用的网络平台！-2有两个线性无关的特征向量，所以A有四个线性无关的特征向量，故A可相似对角化。（3）EA3的特征值为2，5，1，1。故EA3=10。五、1．BAAB为对称矩阵。证明：TTTBAABBAAB=TTTTBAAB=BABA=BAAB，所以BAAB为对称矩阵。2．AAT为正定矩阵。证明：由AAAATTT知AAT为对称矩阵。对任意的n维向量0，由nAR得0A，AATT=2A0，由定义知AAT是正定矩阵。