空间中的垂直问题练习题(答案)

仅供个人参考不得用于商业用途空间线线、线面、面面垂直关系练习题一、填空题1．给出下列三个命题：①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a、b不相交”；②“直线a垂直于直线b”的充分非必要条件是“直线a垂直直线b在平面内的射影”；③“直线a垂直平面”的必要非充分条件是“直线a垂直于平面内的无数条直线”其中所有真命题的序号是③2．如图，正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且PA⊥平面ABCD则在△PAB、△PBC、△PCD、△PAD、△PAC及△PBD中，为直角三角形有______5___个．3．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足BMPC时，平面MBD⊥平面PCD．4．已知三棱锥ABCS的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心，且SA的长为定值，则下列关于此三棱锥的命题：①点B在侧面SAC上的射影是SAC的垂心；②三棱锥ABCS是一个正三棱锥；③三棱锥ABCS的体积有最大值；④三棱锥ABCS的体积有最小值.其中正确命题的序号为①②③.5．如果a,b是异面直线，P是不在a,b上的任意一点，下列四个结论：（1）过P一定可作直线L与a,b都相交；（2）过P一定可作直线L与a,b都垂直；（3）过P一定可作平面与a,b都平行；（4）过P一定可作直线L与a,b都平行，其中正确的结论有___（2）______．6．给出下列命题：①分别和两条异面直线AB．CD同时相交的两条直线AC．BD一定是异面直线②同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b在面α内的射影为c，直线a⊥c，则a⊥b④有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是①．7．点P在直径为2的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是5702．8．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB//平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成图形面积的取值范围是]21,42[．9．直二面角α－l－β的棱l上有一点A，在平面α、β内各有一条射线AB，AC与l成450，ABAC,，则∠BAC=．（60或120，两种情形）10.四棱锥DABCE的底面是矩形，DE面ABCE，3,1,2.DEECBCG为DA的中点，Q为DC上一点，且EQ面GBC，则DQQC＝32.11．已知边长为23的正ABC，点,DE分别在边,ABAC上，且//DEBC，以DE为折痕，把ADE折起至ADE，使点A在平面BCED上的射影H始终落在BC边上，记2ADESAH的面积，则S的取值范围为．【答案】3(,)3【解析】设A到DE的距离为x，则DE与BC间距离为3x，ADE的面积为233x222369AHxxx2339232xSxxS的取值范围为3(,)3．12．三棱锥ABCP中，90CPABPCAPB，点M在△ABC内，且MPA60MPB，则MPC的度数是___45______．13.如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，2BC，若cAD2，且aCDACBDAB2，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是。【答案】13222cac14．如图，已知平面平面，A、B是平面与平面的交线上的两个定点，,DACB，且DA，CB，4AD，8BC，6AB，在平面上有一个动点P，使得APDBPC，则PAB的面积的最大值是12.二、解答题15．如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE平面CDE，且2ABAE．（1）求证：//AB平面CDE；（2）求证：平面ABCD平面ADE；证明：（1）正方形ABCD中，//ABCD，又AB平面CDE，CD平面CDE，所以//AB平面CDE．（2）因为AECDE平面，且CDCDE平面，所以AECD，又ABCDCDAD正方形中，，且AEADAAEADADE、平面，所以CDADE平面，又CDABCD平面，所以ABCDADE平面平面．16.如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，EC＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：（1）平面BDM⊥平面ECA（2）平面DEA⊥平面ECA17.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC∥，PAD△是等边三角形，已知28BDAD，245ABDC．(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；(2)求四棱锥PABCD的体积．(1)证明：在ABD△中，由于4AD，8BD，45AB，所以222ADBDAB．故ADBD．又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD，又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD．(2)解：过P作POAD交AD于O，由于平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD．因此PO为四棱锥PABCD的高，又PAD△是边长为4的等边三角形．因此34232PO．在底面四边形ABCD中，ABDC∥，2ABDC，所以四边形ABCD是梯形，在RtADB△中，斜边AB边上的高为4885545，此即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为2545852425S．18.如图１，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=600，E是BC的中点．如图2，将△ABE沿αβPABDCABCDEABCMPD仅供个人参考不得用于商业用途ABCC1B1A1FDEMABCC1B1A1FDEOMAE折起，使二面角B—AE—C成直二面角，连结BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点．(1)求证：AE⊥BD；(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC?并说明理由．证明：(1)连接BD，取AE中点M，连接,BMDM．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，60ABC，E是BC的中点，ABE与ADE都是等边三角形,BMAEDMAE,,BMDMMBMDM平面BDM，AE平面BDM．BD平面BDM，AEBD．(2)连接CM交EF于点N，连接PNME∥FC，且ME＝FC，∴四边形MECF是平行四边形。∴N是线段CM的中点。∵P是线段BC的中点，PN∥BMBM平面AECDPN平面AECD．(3)DE与平面ABC不垂直．假设DE平面ABC，则DEAB．∵BM平面AECD．BMDE．ABBMM，,ABBM平面ABE，DE平面ABE．DEAE，这与60AED矛盾DE与平面ABC不垂直．19.如图，三棱柱111ABCABC中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱1CC上，已知1,3,2ABACAABCCF.(1)求证:1CE∥平面ADF;(2)若点M在棱1BB上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF?分析：（1）要证明ADFEC平面//1,可通过线线平行和面面平行两条路来证明线面平行.Ⅰ.要在平面ADF中找到与EC1平行的直线，可反用线面平行的性质，利用过EC1的平面与平面ADF的交线OF,这里注意O为ABC的重心，（12OECO）,再利用比例关系证明OFEC//1从而证明结论.Ⅱ.取BD中点M,可通过证明面ADFMEC平面//1,证明ADFEC平面//1解：（1）连接CE交AD于O，连接OF．因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，123CFCOCCCE．从而OF//C1E．OF面ADF，1CE平面ADF，所以1//CE平面ADF．（2）当BM=1时，平面CAM平面ADF．在直三棱柱111ABCABC中，由于1BB平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面ABC．由于AB=AC，D是BC中点，所以ADBC．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，所以AD平面B1BCC1．而CM平面B1BCC1，于是ADCM．因为BM=CD=1，BC=CF=2，所以RtCBM≌RtFCD，所以CMDF．DF与AD相交，所以CM平面ADF．CM平面CAM，所以平面CAM平面ADF．当BM=1时，平面CAM平面ADF20．已知正三角形PAD所在的平面与直角梯形ABCD垂直，ABAD，//ABCD，且2ADDC,4AB．（1）求证：ABPD；（2）求点C到平面PAB的距离；（3）在线段PD上是否存在一点M，使得//AM平面PBC．20．【解析】（1）PADABCDPADABCDADABPADABPDABABCDPDPADABAD面面面面面面面（2）由CPABPABCVV即1133PABABChSPES3h（或过D作PA的垂线，求垂线段的长）（3）假设PD上存在点M，使得//AM平面PBC.在平面PDC内过点M作//MNDC交PC于N,连接BN,则////AMNBPBCNBAMPBCAMNBAMPBC面面面面又//////MNCDMNABCDAB，所以平面AMNB是平行四边形，所以MNAB，这与MNCDAB矛盾，所以假设不成立，即在线段PD上不存在一点M，使得//AM平面PBC.21.如图1，在正方体1111ABCDABCD中，M为1CC的中点，AC交BD于点O，求证：1AO平面MBD．证明：连结MO，1AM，∵DB⊥1AA，DB⊥AC，1AAACA，∴DB⊥平面11AACC，而1AO平面11AACC∴DB⊥1AO．设正方体棱长为a，则22132AOa，2234MOa．在Rt△11ACM中，22194AMa．∵22211AOMOAM，∴1AOOM．∵OM∩DB=O，∴1AO⊥平面MBD．评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．22.如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．ABCDE图1ABCDEFP图2NPCBADHM仅供个人参考不得用于商业用途证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又∵BC平面PBC，∴AD⊥BC．∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC．∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．23.如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SBSCSD，，于EFG，，．求证：AESB，AGSD．证明：∵SA平面ABCD，∴SABC．∵ABBC，∴BC平面SAB．又∵AE平面SAB，∴BCAE．∵SC平面AEFG，∴SCAE．∴AE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD．评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．24.如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ