讲义-直线与圆的位置关系

Page1of9板块考试要求A级要求B级要求C级要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定1、设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点．dr直线l与O⊙相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．dr直线l与O⊙相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．dr直线l与O⊙相交从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数210圆心到直线的距离d与半径r的关系drdrdr公共点名称交点切点无直线名称割线切线无_l_O_d_r_l_O_d_r_l_O_d_rPage2of9二、切线的性质及判定1．切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2．切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．切线长和切线长定理：⑴切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．①切线的判定定理设OA为⊙O的半径，过半径外端A作l⊥OA，则O到l的距离d=r，∴l与⊙O相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O的切线．证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心三、三角形内切圆_A_O_l_T_M_O_B_A_l_A_O_T_O_A定理：①过圆心，过切点垂直于切线 OA过圆心， OA过切点A，则OAAT②经过圆心，垂直于切线过切点12ABMABMT过圆心为切点③经过切点，垂直于切线过圆心12AMMTAMM过圆心为切点_O_A_lPage3of91．定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2．多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系（1）（2）图（1）中，设abc，，分别为ABC中ABC，，的对边，面积为S则内切圆半径（1）srp，其中12pabc；图（2）中，90C，则12rabc四、典例分析：切线的性质及判定【例1】如图，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作O的切线，切点为C，若25A∠，则D∠______．例1例2巩固【例2】如图，直线AB与O⊙相切于点A，O⊙的半径为2，若30OBA，则OB的长为()A．43B．4C．23D．2【巩固】如图，AB与O⊙相切于点B，线段OA与弦BC垂直于点D，60AOB，4cmBC，则切线ABcm．【例3】如图，若O的直径AB与弦AC的夹角为30，切线CD与AB的延长线交于点D，且O的半径为2，则CD的长为（）A．23B．43C．2D．4_O_F_E_D_C_B_A_C_B_A_C_B_A_c_b_a_c_b_aOACBDOBAODCBA_A_C_D_B_OOEDCBAPage4of9例2巩固【巩固】如图，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BCAD于点C，2AB，半圆O的半径为2，则BC的长为_______________．【例4】如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是DCE，，．求证：以AB为直径的圆与CD相切．例4巩固【巩固】如图，已知以直角梯形ABCD中，以AB为直径的圆与CD相切，求证：以CD为直径的圆与AB相切．【例5】已知：如图，在ABC中，ABAC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DEAC，垂足为点E．求证：（1）ABC是等边三角形；（2）13AECE．【巩固】如图，MP切O⊙于点M，直线OP交O⊙于点AB、，弦ACMP∥，求证：MOBC∥．MPOCBA【例6】如图，ABC中，ABAC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证：AC是O的切线。【例7】如图，已知AB是O的直径，BC为O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OAr。（1）求证：CD是O的切线；（2）求ADOC的值；（3）若92ADOCr，求CD的长。_O_D_C_B_A_O_D_C_B_A_E_A_C_O_BODCBAODCBAPage5of9MOADCB【巩固】如图，已知AB是O的直径，BC是和O相切于点B的切线，过O上A点的直线ADOC∥，若2OA且6ADOC，则CD。【巩固】如图，AB是半圆（圆心为O）的直径，OD是半径，BM切半圆于B，OC与弦AD平行且交BM于C。（1）求证：CD是半圆的切线；（2）若AB长为4，点D在半圆上运动，设AD长为x，点A到直线CD的距离为y，试求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。【例8】如图，AC为O的直径，B是O外一点，AB交O于E点，过E点作O的切线，交BC于D点，DEDC，作EFAC于F点，交AD于M点。（1）求证：BC是O的切线；（2）EMFM。【例9】如图，割线ABC与O相交于B、C两点，D为O上一点，E为BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，ADGAGD。（1）求证：AD是O的切线；（2）如果242ABADEG，，，求O的半径。【例10】如图，已知点E在ABC的边AB上，以AE为直径的O⊙与BC相切于点D，且AD平分BAC．求证：ACBC．【巩固】AB是圆的直径，BC是它的弦，过C作圆的切线CD，过B作BECD交CD于E，则ABCEBC．CODBAMOFEDCBAOGFEDCBA_O_E_D_C_B_A_A_O_B_C_D_EPage6of9【例11】如图，已知RtABC中，90ABC，以AB为直径作O⊙交AC于D，过D作O⊙的切线DE交BC于E．求证：BECE．【巩固】如图，已知O⊙的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EAEC，延长EC到点P，连结PB，若PBPE，试判断PB与O⊙的位置关系，并说明理由．【例12】如图，点P在O的直径BA的延长线上，2ABPA，PC切O于点C，连结BC．（1）求P的正弦值；（2）若O的半径2cmr，求BC的长度．【巩固】在RtABC△中，90ACB，D是AB边上一点，以BD为直径的O⊙与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：BDBF；（2）若64BCAD，，求O⊙的面积．【例13】如图所示，AB是O⊙直径，OD⊥弦BC于点F，且交O⊙于点E，若AECODB．（1）判断直线BD和O⊙的位置关系，并给出证明；（2）当108ABBC，时，求BD的长．【巩固】已知：如图，⊙O的直径AB=8cm，P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC．（1）若120ACP，求阴影部分的面积；（2）若点P在AB的延长线上运动，CPA的平分线交AC于点4tan6043PC，∠8833OPCSSS阴影扇形BOC的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠12的度数．_O_P_F_E_D_C_B_ADOECBA_P_C_O_B_AOFEDCBAFECODBAOPBCAPage7of9【例14】在平行四边形ABCD中，1060ABADmD，，，以AB为直径作O⊙，（1）求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示)；（2）当m取何值时，CD与O⊙相切．【例15】已知：如图，O⊙的直径AB与弦CD相交于E，BCBD，O⊙的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．（1）求证：CDBF∥．（2）连结BC，若O⊙的半径为4，3cos4BCD，求线段ADCD、的长．【巩固】如图，在ABC中，90C，34ACBC，．O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点DE，，连结DE．（1）当3BD时，求线段DE的长；（2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：FAE是等腰三角形．典例分析：切线长定理及切线性质的应用【例16】在RtABC中，90A，点O在BC上，以O为圆心的O分别与AB、AC相切于E、F，若ABa，ACb，则O的半径为（）A、abB、ababC、ababD、2ab【例17】如图，ABBC，DCBC，BC与以AD为直径的O相切于点E，9AB，4CD，则四边形ABCD的面积为。OABCD_E_O_F_D_C_B_AOFEDCBACEOFBACEODBAPEOFDBAPage8of9【例18】如图，过O外一点P作O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连结AB，在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F，使ADBE，BDAF，连结DE、DF、EF，则EDF（）A、90P－B、1902PC、180PD、1452P-【例19】如图，已知ABC中，ACBC，CAB（定值），O的圆心O在AB上，并分别与AC、BC相切于点P、Q。（1）求POQ；（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断DOE的大小是否保持不变，并说明理由。【例20】如图，O为RtABC的内切圆，点D、E、F为切点，若6AD，4BD，则ABC的面积为。【例21】正方形ABCD中，AE切以BC为直径的半圆于E，交CD于F，则:CFFD（）A、1∶2B、1∶3C、1∶4D、2∶5【巩固】如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，CG切半圆于E，交AD于F，交BA的延长线于G，8GA。（1）求G的余弦值；（2）求AE的长。【例22】如图，AB是半O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半O上运动，且总保持PQPO，过点Q作O的切线交BA的延长线于点C。（1）当60QPA时，请你对QCP的形状做出猜想，并给予证明；（2）当QPAB时，QCP的形状是三角形；（3）则（1）（2）得出的结论，请进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时，QCPNQPODCBACEOFDBAEOFDCBAGEOFDCBAPQMCOBAPage9of9一定是三角形。【巩固】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O的半径AO上运动，PC⊥AB交⊙O于E，PT切⊙O于T，PC=2.5。（1）当CE正好是⊙O的半径时，PT=2，求⊙O的半径；（2）设2PTy，ACx，求出y与x之间的函数关系式；（3）△PTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△PTC的面积；若不能，请说明理由。TEPOACB