函数解析式三种求法

1第二单元函数3求函数的解析式2掌握求函数解析式的常用方法.（1）换元法或配凑法；（2）待定系数法；（3）构造方程法。3本节题型函数的解析式问题求下列函数的解析式：(1)已知二次函数满足f(3x+1)=9x2-6x+5,求f(x);(2)已知2f(x)+f(-x)=3x+2，求f(x).例1分析分析根据条件可灵活运用不同的方法求解.4(1)(方法一)待定系数法.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+3b)x+a+b+c.又f(3x+1)=9x2-6x+5,所以9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5,5比较两端的系数，得9a=96a+3b=-6，a+b+c=5所以f(x)=x2-4x+8.(方法二)换元法.令t=3x+1,则x=,代入f(3x+1)=9x2-6x+5中，得f(t)=9()2-6·+5=t2-4t+8,所以f(x)=x2-4x+8.a=1b=-4,c=8解得13t13t13t6（方法三）配凑法.因为f(3x+1)=(3x+1)2-4(3x+1)+8，所以f(x)=x2-4x+8.(2)直接列方程组求解.由2f(x)+f(-x)=3x+2,用-x代换此式中的x,得2f(-x)+f(x)=-3x+2,解方程组2f(x)+f(-x)=3x+22f(-x)+f(x)=-3x+2,得f(x)=3x+.237练一练：(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f（x）；（2）已知（3）已知f(x)满足2f(x)+=3x,求f(x).问题（1）由题设知f（x）为一次函数，故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；问题（2）已知条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法；问题（3）已知条件中含x，，可用构造方程组法求解.);(,2)1(xfxxxf求)1(xfx1思维启迪8函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立的桥梁.求函数的解析式是高考中的常见问题，其特点是类型活，方法多.求函数的解析式常有以下几种方法：①如果已知函数f［f(x)］的表达时，可用换元法或配凑法求解；②如果已知函数的结构时，可用待定系数法求解；③如果所给式子含有f(x)、f()或f(x)、f(-x)等形式，可构造另一方程，通过解方程组求解.分析分析1x9解（1）设f（x）=ax+b（a≠0），则3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7.(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f（x）；10).1(1)(,11,1)1(112)(2)1().1(1)(),1(1)(,2)1(.11),(1)2(22222xxxfxxxxxxxfxxxftttfxxxftxttx方法二方法一：换元法：配凑法（2）已知);(,2)1(xfxxxf求11).()(,)()()()()(,)()(,)(012363②2①②312①31231213xxxxfxxxfxxfxfxxfxfxxfxfxx所以得联立方程得换成把题目中的（3）已知f(x)满足2f(x)+=3x,求f(x).)1(xf12题型三分段函数问题(1)已知函数f(x)=f(x+2)(x≤-1)2x+2(-1x1)2x-4(x≥1)，则f[f(-2008)]=；(2)f(x)=-x+1(x0)x-1(x≥0),则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是.13(1)已知函数f(x)=f(x+2)(x≤-1)2x+2(-1x1)2x-4(x≥1)，则f[f(-2008)]=；0(1)f[f(-2008)]=f[f(-2006)]=…=f[f(-2)]=f[f(0)]=f(2)=22-4=0.14(2)f(x)=-x+1(x0)x-1(x≥0),则x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是.{x|x≤-1}2(2)①当x+10时，f(x+1)=-(x+1)+1=-x，则原不等式可化为x-1x+(x+1)(-x)≤1,即x-1;②当x+1≥0时，f(x+1)=(x+1)-1=x，则原不等式可化为x≥-1x+(x+1)x≤1,即-1≤x≤-1+.综合①②,得原不等式的解集为{x|x≤-1}.2215(3)设则f[g(3)]=____,=_____.)(,)()()(xgxxxxxf00132,)()(12122xxx)]([21fg16317.1631)41(2)41()]21([,41)21()21(22gfgf解析∵g(3)=2,∴f[g(3)]=f(2)=3×2+1=7，16点评点评①分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；②分段函数求解时，一定要注意自变量的取值范围，从而确定解析式；③分类讨论时，各种条件下的解集一定要与各自的条件取交集，最后所有的解集取并集.17备选题备选题已知函数对任意的实数a、b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0),f(1)的值；(2)求证：f()+f(x)=0(x≠0);(3)若f(2)=m,f(3)=n(m、n均为常数)，求f(36)的值.1x本题是一个抽象函数问题，直接求函数的解析式是不可能的，需通过取特殊值来解决.分析分析18(1)不妨设a=b=0.由f(ab)=f(a)+f(b),得f(0)=0.设a=b=1,得f(1)=0.(2)证明：当x≠0时，因为x·＝１，于是f(1)=f(x·)=f(x)+f()=0,所以f()+f(x)=0.1x1x1x1x(3)因为f(2)=m,f(3)=n,所以f(36)=f(22)+f(32)=f(2×2)+f(3×3)=2f(2)+2f(3)=2(m+n).19方法提炼方法提炼1.已知函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如分式的分母不等于零，开偶次方的被开方数不小于零，对数的真数大于零且底数大于零而不等于１等等.202.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、配方法、函数方程法、赋值法等.当已知函数为某类基本初等函数时用待定系数法，已知复合函数的问题时用换元法或配凑法，抽象函数问题一般用赋值法或函数方程法.3.分段函数是指自变量在取值情况不同时，对应法则不同.分段函数的定义域为自变量的所有取值的并集.21点评点评抽象函数由于只给出函数的某些性质，却不知道函数的具体解析式，因而成为函数问题中的一个难点，但这类问题能很好地考查学生的思维能力.解决抽象函数问题，要全面应用其所具有的性质展开解题思路，通常的方法是赋值法，并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论，找到解题的思路和方法.