江苏省南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题(含答案)

1南京清江花苑严老师南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学2018.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2－4＝0}，则A∪B=▲________．2．已知复数z的共轭复数是－z．若z(2－i)＝5，其中i为虚数单位，则－z的模为▲________．3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为▲________．4．根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为▲________．5．已知A，B，C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A与B在相邻两天值班的概率为▲________．6．若实数x，y满足x－y－3≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，则yx的取值范围为▲________．7.已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：①若l⊥α，l⊥β，则α∥β；②若l⊥α，α⊥β，则l∥β；③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β．其中真命题为▲________（填所有真命题的序号）．S←1I←1WhileI＜8S←S＋2I←I＋3EndWhilePrintS(第3题图)(第4题图)2南京清江花苑严老师8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率为▲________．9．若等比数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，则a7的值为▲________．10．若f(x)是定义在R上的周期为3的函数，且f(x)＝x2＋x＋a，0≤x≤2，－6x＋18，2＜x≤3，则f(a+1)的值为▲________．11．在平面直角坐标系xOy中，圆M：x2＋y2－6x－4y＋8＝0与x轴的两个交点分别为A，B，其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N，过点A作直线l与圆M，圆N分别交于C，D两点．若D为线段AC的中点，则直线l的方程为▲________．12．在△ABC中，AB=3，AC=2，D为边BC上一点．若AB→·AD→＝5，AC→·AD→＝－23，则AB→·AC→的值为▲________．13．若正数a，b，c成等差数列，则c2a＋b＋ba＋2c的最小值为▲________．14．已知a，b∈R，e为自然对数的底数．若存在b∈[－3e，－e2]，使得函数f(x)＝ex－ax－b在[1，3]上存在零点，则a的取值范围为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q．已知点P的横坐标为277，点Q的纵坐标为3314．（1）求cos2α的值；（2）求2α－β的值.PO(第15题图)Qx3南京清江花苑严老师16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝6，其余棱长均为2，M是棱PC上的一点，D，E分别为棱AB，BC的中点．（1）求证:平面PBC⊥平面ABC；（2）若PD∥平面AEM，求PM的长．17．(本小题满分14分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB，AC和以BC为直径的半圆弧BC⌒组成，其中AC为2百米，AC⊥BC，∠A为π3．若在半圆弧BC⌒，线段AC，线段AB上各建一个观赏亭D，E，F，再修两条栈道DE，DF，使DE∥AB，DF∥AC.记∠CBD＝θ（π3≤θ＜π2）．（1）试用θ表示BD的长；（2）试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点P(85，35)，离心率为32.已知过点M(25，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）试问x轴上是否存在定点N，使得NA→·NB→为定值．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.ABCDFE(第17题图)(第16题图)ACBMDEPxyO(第18题图)MBA4南京清江花苑严老师19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝2x3－3ax2＋3a－2（a＞0），记f'(x)为f(x)的导函数．（1）若f(x)的极大值为0，求实数a的值；（2）若函数g(x)＝f(x)＋6x，求g(x)在[0，1]上取到最大值时x的值；（3）若关于x的不等式f(x)≥f'(x)在[a2，a+22]上有解，求满足条件的正整数a的集合．20．(本小题满分16分)若数列{an}满足：对于任意n∈N*，an＋|an＋1－an＋2|均为数列{an}中的项，则称数列{an}为“T数列”．（1）若数列{an}的前n项和Sn＝2n2，n∈N*，求证：数列{an}为“T数列”；（2）若公差为d的等差数列{an}为“T数列”，求d的取值范围；（3）若数列{an}为“T数列”，a1＝1，且对于任意n∈N*，均有an＜a2n＋1－a2n＜an＋1，求数列{an}的通项公式．5南京清江花苑严老师南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题2018.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲在△ABC中，AC＝12AB，M为边AB上一点，△AMC的外接圆交BC边于点N，BN＝2AM，求证：CM是∠ACB的平分线．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A＝1201，B＝2001，若直线l:x－y＋2＝0在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1，求直线l1的方程．C．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C经过点P（2，π3），圆心C为直线sin(θ－π3)＝－3与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．D．选修4—5：不等式选讲已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求2a＋b＋2b＋c＋2c＋a的最大值．CABMN(第21A题图)6南京清江花苑严老师【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(1，a)(a＞0)是抛物线C上一点，且AF＝2．（1）求p的值；（2）若M，N为抛物线C上异于A的两点，且AM⊥AN．记点M，N到直线y＝－2的距离分别为d1，d2，求d1d2的值．23．(本小题满分10分)已知fn(x)＝i＝1∑n－1An－inx(x＋1)…(x＋i－1)，gn(x)＝Ann＋x(x＋1)…(x＋n－1)，其中x∈R，n∈N*且n≥2．（1）若fn(1)＝7gn(1)，求n的值；（2）对于每一个给定的正整数n，求关于x的方程fn(x)＋gn(x)＝0所有解的集合．·F(第22题图)xyOAMN7南京清江花苑严老师南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{－3，－2，2}2．53．1504．75．236．[211，2]7．①③8．59．410．211．x＋2y－4＝012．－313．25914．[e2，4e]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)解：（1）因为点P的横坐标为277，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝277，………………………………2分所以cos2α＝2cos2α－1＝17．………………………………4分（2）因为点Q的纵坐标为3314，所以sinβ＝3314．………………………………6分又因为β为锐角，所以cosβ＝1314．………………………………8分因为cosα＝277，且α为锐角，所以sinα＝217，因此sin2α＝2sinαcosα＝437，……………………………10分所以sin(2α－β)＝437×1314－17×3314＝32．……………………………12分因为α为锐角，所以0＜2α＜π．8南京清江花苑严老师又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，所以2α－β＝π3．…………………………………14分16．(本小题满分14分)（1）证明：如图1，连结PE．因为△PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，所以PE⊥BC，……………………2分且PE＝3，同理AE＝3．因为PA＝6，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．……4分因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC平面ABC，所以PE⊥平面ABC．因为PE平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC．……………………7分（2）解法一如图1，连接CD交AE于O，连接OM．因为PD∥平面AEM，PD平面PDC，平面AEM∩平面PDC＝OM，所以PD∥OM，……………………………………9分所以PMPC＝DODC．……………………………………11分因为D，E分别为AB，BC的中点，CD∩AE＝O，所以O为ABC重心，所以DODC＝13，所以PM＝13PC＝23．…………………………………14分解法二如图2，取BE的中点N，连接PN．因为D，N分别为AB，BE的中点，所以DN∥AE．又DN平面AEM，AE平面AEM，所以DN∥平面AEM．又因为PD∥平面AEM，DN平面PDN，PD平面PDN，DN∩PD＝D，所以平面PDN∥平面AEM．………………………………9分又因为平面AEM∩平面PBC＝ME，平面PDN∩平面PBC＝PN，所以ME∥PN，所以PMPC＝NENC．………………………………11分(图2)PACBMDECBN(图1)OCBPACBMDE9南京清江花苑严老师因为E，N分别为BC，BE的中点，所以NENC＝13，所以PM＝13PC＝23．………………………………14分17．(本小题满分14分)解：（1）连结DC．在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，∠A为π3，所以∠CBA＝π6，AB＝4，BC＝23．………………………………2分因为BC为直径，所以∠BDC＝π2，所以BD＝BCcosθ＝23cosθ．………………………………4分（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋π6，∠BFD＝π3，BD＝23cosθ，所以DFsin(θ＋π6)＝BFsin(π2－θ)＝B