【优化方案】2012高中数学-第2章2.2.2等差数列的性质课件-新人教A版必修5

2．2.2等差数列的性质学习目标1.进一步巩固等差数列的概念和通项公式．2．掌握等差数列的性质．课堂互动讲练知能优化训练2.2.2等差数列的性质课前自主学案课前自主学案温故夯基1．数列{an}为等差数列_____________________________2．等差数列的通项公式an＝__________________3．A是a、b的等差中项⇔_____________⇔an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．a1＋(n－1)d，n∈N*.A＝a＋b2.1．等差数列的项与序号的关系知新盖能两项关系多项关系通项公式的推广：an＝am＋_________(m，n∈N*)项的运算性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则______＝ap＋aq(n－m)dam＋an思考感悟在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)成立吗？提示：不一定，若an＝3，则a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4.2．等差数列的性质(1)若{an}是公差为d的等差数列，则：①{c＋an}(c为任一常数)是公差为__的等差数列；②{c·an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列．(2)若{an}、{bn}分别是公差为d1、d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p、q是常数)是公差为_______的等差数列．dcdpd1＋qd2课堂互动讲练考点突破等差数列性质的应用等差数列的性质在数列问题的研究中经常用到，而且它具有很强的灵活性，常用的等差数列的性质如下：(1)等差数列{an}中，若公差d0，则数列为递增数列；若d0，则数列为递减数列；若d＝0，则数列为常数列．(2)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.特例：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(1)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35(2)已知等差数列{an}，若a11＝－26，a51＝54，则a14＝________.例1【思路点拨】利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题．(1)利用2a4＝a3＋a5，(2)利用an＝am＋(n－m)d.【解析】(1)∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.(2)在等差数列{an}中，根据an＝am＋(n－m)d，∴a51＝a11＋40d，∴d＝140(54＋26)＝2.∴a14＝a11＋3d＝－26＋3×2＝－20.【答案】(1)C(2)－20变式训练1(1)数列{an}中，a3、a10是方程x2－3x－5＝0的两根，若{an}是等差数列，则a5＋a8＝________；(2)在等差数列{an}中，已知a1－a4－a8－a12＋a15＝2，则a3＋a13＝________.解析：(1)由根与系数的关系知a3＋a10＝3，故a5＋a8＝a3＋a10＝3.(2)由a1＋a15＝a4＋a12，得a8＝－2，∴a3＋a13＝2a8＝－4.答案：(1)3(2)－4等差数列的设法及求解(1)若有三个数成等差数列，则一般设为a－d，a，a＋d；(2)若有四个数成等差数列，则一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d；(3)若有五个数成等差数列，则一般设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首、末两项的积为－8，求这四个数．【思路点拨】解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解．【解】(1)设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数依次为a－d，a，a＋d，依题意，3a＝6，且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，例2化简得d2＝16，于是d＝±4，故这三个数依次为－2,2,6或6,2，－2.(2)设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，∴d0，∴d＝1，故所求的四个数依次为－2,0,2,4.等差数列的应用题某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？例3【思路点拨】题意――→设每年获利构成等差数列{an}a1＝200，an－an－1＝－20，n≥2，n∈N*―→an0―→n11―→n＝12【解】由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，….设从第1年起，第n年的利润为an，则an－an－1＝－20，n≥2，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20.所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由an＝220－20n0，得n11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．【名师点评】“亏损”＝“利润小于零”．由于公差d＜0，所以利润构成的数列是一个递减数列，即随着n的增大，an的值越来越小，an＜0时(此处暗含an－1≥0成立)公司将出现亏损．变式训练2夏季高山上的温度从山脚起，每升高100m，平均降低0.7℃，已知山顶处的温度是14.8℃，山脚处的温度为26℃，问此山相对于山脚的高度是多少？解：∵每升高100m温度降低0.7℃，∴该处温度的变化是一个等差数列问题．山脚温度为首项a1＝26，山顶温度为末项an＝14.8，∴26＋(n－1)×(－0.7)＝14.8，解得n＝17，∴此山的高度为(17－1)×100＝1600(m)．若数列{an}是公差为d的等差数列，则有：(1)d＝an－a1n－1＝am－akm－k(m、n、k∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(3)若m＋n2＝k，则am＋an＝2ak(m、n、k∈N*)．方法感悟(4)若{an}是有穷等差数列，则与首、末两项等距离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝….(5)数列{λan＋b}(λ、b是常数)是公差为λd的等差数列．