【优化方案】2012高中数学-第2章2.4.1等比数列的概念及通项公式课件-新人教A版必修5

2．4等比数列2．4.1等比数列的概念及通项公式学习目标1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念．2．掌握等比数列的通项公式及推导过程．3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．课前自主学案温故夯基1．如果一个数列从__________起，每一项与它的前一项的差都等于__________，那么这个数列叫做等差数列．2．等差数列的通项公式：an＝___________是关于n的一次函数式(或常函数)．第二项同一常数a1＋(n－1)d1．等比数列的定义如果一个数列从______起，每一项与它的前一项的比都等于___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_____，公比通常用字母q(q≠0)表示．知新盖能第2项同一常数公比课堂互动(1)1，3，9，27，81，…(3)5，5，5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，1，…是,公比q=3是,公比q=x是,公比q=-1(7)2341,,,,,(0)xxxxx(2),161,81,41,21是,公比q=21观察并判断下列数列是否是等比数列:是,公比q=1(5)1，0，1，0，1，…(6)0，0，0，0，0，…不是等比数列不是等比数列）且无关的数或式子是与0,(1qnqaann(1)1，3，9，27，…(3)5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，…(2),161,81,41,21(5)1，0，1，0，…(6)0，0，0，0，…1.各项不能为零,即0na2.公比不能为零,即0q4.数列a,a,a,…0a时,既是等差数列又是等比数列;0a时,只是等差数列而不是等比数列.3.当q0，各项与首项同号当q0，各项符号正负相间对概念的更深理解等差数列通项公式的推导:(n-1)个式子daa12daa23daa34daann21daann1……dnaan)1(1方法一:(累加法)daa12dnaan)1(1dda)(1daa23da21dda)2(1daa34da31……方法二:(归纳法)1nnaadqaann1等比数列通项公式的推导：2n(n-1)个式子11nnqaa……方法一:累乘法qaa12qaa23qaa34qaann1qaa12qqa)(1qaa2321qaqqa)(21qaa3431qa……方法二:归纳法11nnqaa2．等比数列的递推公式与通项公式已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，填表：递推公式通项公式anan－1＝q(n≥2)an＝_______a1·qn－13.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成________，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式_________等比数列G2＝ab.2．若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？提示：不一定，若a＝G＝b＝0时，不满足．思考感悟课堂互动讲练考点突破等比数列的通项公式(1)在已知a1和q的前提下，利用公式an＝a1qn－1，可求出等比数列中的任意一项．(2)在通项公式中知道a1、q、n、an四个量中的任意三个，可求得另一个量．求下列各等比数列的通项公式：(1)a1＝3，a3＝27；(2)a1＝1，an＋1＝2an(n≥1)．【思路点拨】关键是确定等比数列的首项和公比．例1【解】(1)a3＝a1q2，∴q2＝9，∴q＝±3.∴an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n或an＝a1qn－1＝3×(－3)n－1＝(－1)n－13n.∴an＝3n或(－1)n－13n.(2)由题意知an＋1an＝2(n≥1)．∴数列{an}是公比为2的等比数列，且首项为a1＝1.∴通项公式为an＝a1qn－1＝1×2n－1＝2n－1.等比中项由等比中项的定义可知：Ga＝bG⇒G2＝ab⇒G＝±ab.这表明：只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．异号的两数没有等比中项．反之，若G2＝ab，则Ga＝bG，即a，G，b成等比数列．所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．求出下列等比数列中的未知项：(1)2，a,8；(2)－4，b，c，12.例2【思路点拨】利用等比中项满足G2＝ab.解】(1)由题意得a2＝2×8，∴a＝4或a＝－4.(2)由题意得b2＝－4cc2＝12b，解得b＝2c＝－1或b＝0c＝0(舍去)．∴b＝2c＝－1.【等比数列的判定与证明判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法an＋1an＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法a2n＋1＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．【思路点拨】将递推公式变形，然后利用等比数列的定义判定．例3【解】(1)证明：因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，知a1＋1≠0，可得an＋1≠0.所以an＋1＋1an＋1＝2(n∈N*)．所以数列{an＋1}是等比数列．(2)由(1)知，{an＋1}是以a1＋1为首项，2为公比的等比数列．所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1.【名师点评】已知数列的递推关系求通项公式时，要先判断该数列是否为等差数列或等比数列，若是等差或等比数列，则按等差或等比数列的通项公式求解；若不是等差或等比数列，一般先将递推公式变形，构造一个等差或等比数列，从而求出通项公式．变式训练已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．解：(1)由S1＝13(a1－1)，得a1＝13(a1－1)，∴a1＝－12.又S2＝13(a2－1)，即a1＋a2＝13(a2－1)，得a2＝14.(2)证明：当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，得anan－1＝－12，又a2a1＝－12，所以{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列．1．对等比数列定义的理解应注意(1)注意定义中“从第2项起”这一条件的两层含义．其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中的“与前一项的比”相吻合；其二，等比数列的定义包括了首项这一基本量，且必须从第2项起使数列中各项均与其前面一项作商．(2)注意定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求，它的含义也有两个．其一，强调作商的顺序，即后面的项比前面的项；第二，强调这两项必须相邻．(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等比数列．方法感悟2．用函数的观点看等比数列的通项公式等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，还可以改写为an＝a1qqn.当q＞0，且q≠1时，y＝qx是一个指数函数，而y＝a1q·qn是一个不为0的常数与指数函数的积．因此等比数列{an}的图象是函数y＝a1q·qx图象上的一些孤立的点．等比数列名称等差数列概念常数性质通项通项变形dnaan)1(1dknaakn)(),(*Nkn回顾小结11nnqaaknknqaa),(*Nkn从第2项起,每一项与它前一项的比等同一个常数公比(q)q可正可负,但不可为零从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数公差(d)d可正可负,且可以为零