证明异面直线的几种方法

证明异面直线的几种方法范文哲异面直线在立体几何中占有重要地位，很多同学在证明两条直线是异面直线时往往只证不共面的一面，或只证无公共点的一面，这样的证明是不全面的，必须根据异面直线的定义，证明这两条直线无公共点，同时不在任何一个平面内，这样才算完整。在这里讲几种常用的方法，供同学们学习。一.“判定定理”法判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。例1.如图1，空间四边形ABCD，，AE是的边BC上的高，DF是的边BC上的中线，求证：AE和DF是异面直线。图1证明：由题设条件可知点E、F不重合，设所在的平面为。因为，所以AE和DF是异面直线。二.反证法例2.已知a//b//c，且a，b，c不在同一平面内，A、B，求证：AD与BC是异面直线。证明：因为a//b，所以a，b确定平面。又A，Ba，Cb，所以A、B、C不共线，且A，B，Cα。假设AD与BC共面，则，而，c//a，，从而，此与a，b，c不在同一平面内矛盾，故AD与BC是异面直线。三.排除法例3.如图2，已知，求证：a，b是异面直线。图2证明：（1）因为，所以b与只有一个公共点。而，故a与b无公共点。（2）上只有一个点在平面内，其他点都在平面内，不在内，上的点都在平面内，又故a，b不在同一平面内。综合（1）（2）可知，a，b是异面直线。