苏教版必修4《第三章三角恒等变换》综合检测试卷含答案解析

(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________．解析：原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝12.答案：122．计算2cos2π8－1的值为________．解析：2cos2π8－1＝cos(2×π8)＝cosπ4＝22.答案：223.已知tanα＝－43，则tan(α＋134π)的值是________．解析：tan(α＋134π)＝tanα＋tan134π1－tanαtan134π＝－43＋11－（－43）×1＝－17.答案：－174.函数y＝sinx·(cosx＋sinx)的最小正周期T＝________．解析：y＝sinx(cosx＋sinx)＝sinxcosx＋sin2x＝12sin2x＋1－cos2x2＝12(sin2x－cos2x)＋12＝22sin(2x－π4)＋12，∴最小正周期T＝π.答案：π5．tan18°＋tan42°＋3tan18°tan42°＝________．解析：原式＝tan(18°＋42°)(1－tan18°tan42°)＋3tan18°·tan42°＝3(1－tan18°tan42°)＋3tan18°tan42°＝3.答案：36.已知α是第二象限角，且cosα＝－45，则tan2α＝________．解析：由α是第二象限角，且cosα＝－45，得sinα＝35；∴sin2α＝2sinαcosα＝－2425，cos2α＝cos2α－sin2α＝725；∴tan2α＝sin2αcos2α＝－247.答案：－2477.已知sin2α＝13，则tanα＋1tanα＝________．解析：tanα＋1tanα＝sinαcosα＋cosαsinα＝sin2α＋cos2αsinαcosα＝112sin2α＝6.答案：68.若sin(α＋β)＝47，sin(α－β)＝67，则tanαtanβ＝________．解析：由已知得：sinαcosβ＋cosαsinβ＝47，sinαcosβ－cosαsinβ＝67，∴sinαcosβ＝57，cosαsinβ＝－17，∴tanαtanβ＝sinαcosβcosαsinβ＝－5.答案：－59.3－sin70°2－cos210°＝________．解析：原式＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝6－2sin70°3－sin70°＝2.答案：210.若α是第三象限角，且sinα＝－2425，则tanα2等于________．解析：∵α是第三象限角，且sinα＝－2425，∴cosα＝－1－sin2α＝－725，∴tanα2＝sinα1＋cosα＝－24251－725＝－43.答案：－4311.已知cosα＝－14，则cos（α＋π4）cos2α－sin2α＋1＝________．解析：cos（α＋π4）cos2α－sin2α＋1＝22（cosα－sinα）2cos2α－2sinαcosα＝22（cosα－sinα）2cosα（cosα－sinα）＝24cosα＝－2.答案：－212.计算2cos55°－3sin5°cos5°＝________．解析：原式＝2cos（60°－5°）－3sin5°cos5°＝212cos5°＋32sin5°－3sin5°cos5°＝1.答案：113.函数f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx的最大值为________．解析：∵f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋2sin(2x＋π4)，∴当2x＋π4＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋π8(k∈Z)时，f(x)取最大值1＋2.答案：1＋214.已知B是△ABC的一个内角，设f(B)＝4sinB·cos2π4－B2＋cos2B，若f(B)－m2恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：f(B)＝4sinBcos2π4－B2＋cos2B＝4sinB1＋cosπ2－B2＋cos2B＝2sinB(1＋sinB)＋(1－2sin2B)＝2sinB＋1.∵f(B)－m2恒成立，∴m2sinB－1恒成立．∵0Bπ，∴0sinB≤1.∴－12sinB－1≤1，故m1.答案：(1，＋∞)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知cos(α－β)＝35，sinα＝3365，且α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，求sinβ的值．解：由已知得：－β∈(0，π2)，又α∈(0，π2)，∴α－β∈(0，π)；∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45；由α∈(0，π2)及sinα＝3365得cosα＝5665；∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝3365×35－5665×45＝－12565×5＝－513.16.(本小题满分14分)已知α∈(0，π2)，sinα＝55，求tan2α和sin(2α＋π3)的值．解：由已知得cosα＝255，∴tanα＝12，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×121－（12）2＝43.∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)，∵tan2α＝430，∴2α∈(0，π2)，∴sin2α＝45，cos2α＝35.∴sin(2α＋π3)＝sin2α·cosπ3＋cos2α·sinπ3＝45×12＋35×32＝4＋3310.17.(本小题满分14分)如图，A、B是单位圆O上的点，C是圆O与x轴正半轴的交点，点A的坐标为(35，45)，△AOB为正三角形．求sin∠COA和cos∠COB的值．解：∵点A的坐标为(35，45)，根据三角函数定义可知：x＝35，y＝45，r＝1；∴sin∠COA＝yr＝45，cos∠COA＝xr＝35.∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°，∴cos∠COB＝cos(∠COA＋60°)＝cos∠COAcos60°－sin∠COAsin60°＝35×12－45×32＝3－4310.18.(本小题满分16分)设cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，且π2απ，0βπ2，求cos(α＋β)．解：∵π2απ，0βπ2，∴π4α－β2π，－π4α2－βπ2.故由cosα－β2＝－19，得sinα－β2＝459，由sinα2－β＝23，得cosα2－β＝53.∴cosα＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527.∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×75272－1＝－239729.19.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝sin2x＋sin2x－cos2x，(1)求f(x)的最大值及相应的x的值；(2)若f(θ)＝35，求cos2(π4－2θ)的值．解：(1)f(x)＝sin2x＋sin2x－cos2x＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－π4)，∴当2x－π4＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋38π(k∈Z)时，f(x)取得最大值2；(2)由f(θ)＝sin2θ－cos2θ，及f(θ)＝35得：sin2θ－cos2θ＝35，两边平方得1－sin4θ＝925，即sin4θ＝1625，∴cos2(π4－2θ)＝cos(π2－4θ)＝sin4θ＝1625.20.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝sinx2cosx2＋3cos2x2，(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的值域；(3)求当x∈[π，2π]时，f(x)的零点．解：(1)∵f(x)＝sinx2cosx2＋3cos2x2＝12sinx＋32(1＋cosx)＝sin(x＋π3)＋32，∴最小正周期T＝2π.(2)由f(x)＝sin(x＋π3)＋32，得f(x)的值域为[32－1，32＋1]．(3)令f(x)＝0，即sin(x＋π3)＋32＝0，也就是sin(x＋π3)＝－32；∵x∈[π，2π]，∴x＝π或x＝43π，∴当x∈[π，2π]时，f(x)的零点为x＝π与x＝43π.