利用轴对称求线段差最值问题

赵来福问题情境一如图，点A和B在直线l同侧，在直线l上求作点M，使AM-BM有最大值.思维点拨1、首先在l上任作一点M，连接AM，BM，再连接AB，则图中会构成一个三角形，由三角形结合AM-BM你会想到什么性质？三角形任意两边之差小于第三边.2、由此你得到一个什么关系？AM-BMAB3、A、B、M三点一定会构成三角形吗？它们有几种位置关系？不一定；位置关系有三点不共线或者三点共线.当三点共线时不能构成三角形.4、当A、B、C三点共线时，AB、AM、BM三者之间的数量关系是什么？AM-BM=AB5、点M是l上任一点，AM、BM和AB之间的数量关系是什么？AM-BM≤AB；当A、B、M三点共线时AM-BM取最大值.问题解决解：连接AB并延长AB交直线l于M点，则此时AM-BM取最大值.问题情境一如图，点A和B在直线l异侧，在直线l上求作点M，使AM-BM有最大值.思维点拨1、当A、B、C三点共线时，AB、AM、BM三者之间的数量关系是什么？AM+BM=AB此时无法获得AM-BM≤AB这个关系，遇到思维障碍你会想到什么？2、问题二和问题一有什么区别和联系？区别：问题一中A、B在l同侧；问题二中A、B在直线l异侧.联系：都是求AM-BM最大值有关问题.3、怎样把问题二中的A、B的两点转化到同侧，且不改变AM和BM的长度？利用轴对称变换；如图，作B关于l的对称点B′，在直线l上任取一点M，连接AM，BM、B′M，则BM=B′M这样，问题就转化为问题一来解决.问题解决解：如图，作B关于l的对称点B′，连接AB′并延长AB′交直线l于点M，此时AM-B′M取最大值，即AM-BM取最大值.