第2节-古典概型(教师版)

巅峰教育教材研发中心1第二节古典概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型(1)定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．②每个基本事件出现的可能性相等．(2)概率公式：P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.3.一个判定标准：试验结果有限且等可能．4.两种方法(1)列举法：适合于较简单的试验．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．题型一简单古典概型的概率例题【例1】从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()．A.49B.13C.29D.19【答案】D【解析】由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有C15C14＝20个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有C15C15＝25个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45个．其中，个位数是0的有C15×1＝5个．所求概率为545＝19.【例2】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．【答案】35【解析】相邻两节文化课之间最多间隔一节艺术课，可以分两类：第一类：文化课之间不排艺术课，设此事件为A，则P(A)＝A44A33A66＝15.第二类：文化课之间排艺术课，设此事件为B，①三节文化课之间有一节艺术课的排列情况总数为2C13A33A33.②三节文化课中间有两节不相邻艺术课的排列总数为A33A23A22，∴P(B)＝2C13A33A33＋A33A23A22A66＝25，∴P＝P(A)＋P(B)＝15＋25＝35题型专练知识导航巅峰教育数学培优教程2练习题【练1】甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()．A.16B.12C.13D.23【答案】C【解析】甲、乙、丙三名同学站成一排共有6种站法，甲在中间共有2种站法，故甲站在中间的概率为13.【练2】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()．A.15B.25C.35D.45【答案】B【解析】从袋中任取两球有C26＝15种，满足两球颜色为一白一黑的有C12C13＝6种，概率等于615＝25.【练3】从数字1,2,3,4,5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是()．A.15B.25C.35D.45【答案】B【解析】从5个数中任取2个不同的数有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共有10种．其中两个数的和为偶数有：(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，故所求概率为：P＝410＝25.题型二古典概型与互斥、对立事件的概率综合问题例题【例3】现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．【解析】(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，共有C13C13C12＝18种，用M表示“A1恰被选中”这一事件，则包含的结果共有C13C12＝6种，因而P(M)＝618＝13.(2)用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于N包含C13＝3个基本事件，所以P(N)＝318＝16，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.练习题【练4】在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解析】(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C310，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为Ck3C3－k7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝Ck3C3－k7C310，k＝0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是巅峰教育教材研发中心3X的数学期望EX＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而P(A1)＝C13C23C310＝340，P(A2)＝P(X＝2)＝740，P(A3)＝P(X＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝340＋740＋1120＝31120.题型三古典概型与统计的综合问题例题【例4】PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.2012年2月29日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中空气质量等级标准见下表：PM2.5日均值k(单位：微克)空气质量等级k≤35一级35k≤75二级k75超标某环保部门为了解近期甲、乙两居民区的空气质量状况，在过去30天中分别随机抽测了5天的PM2.5日均值作为样本，样本数据如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．(1)分别求出甲、乙两居民区PM2.5日均值的样本平均数，并由此判断哪个小区的空气质量较好一些；(2)若从甲居民区这5天的样本数据中随机抽取2天的数据，求恰有1天空气质量超标的概率．【解析】(1)甲居民区抽测的样本数据分别是37,45,73,78,88；乙居民区抽测的样本数据分别是32,48,65,67,80.故x甲＝37＋45＋73＋78＋885＝64.2，x乙＝32＋48＋65＋67＋805＝58.4.则x甲x乙．由此可知，乙居民小区的空气质量要好一些．(2)由茎叶图知，甲居民区5天中有3天空气质量未超标，有2天空气质量超标．记未超标的3天的样本数据为a，b，c，超标的2天为m，n.则从5天中抽取2天的所有情况为：(a，b)，(a，c)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(m，n)，基本事件数为10.记“5天中抽取2天，恰有1天空气X0123P72421407401120巅峰教育数学培优教程4质量超标”为事件A，可能结果为：(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，基本事件数为6.则P(A)＝610＝35.练习题【练5】某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分)，数学成绩分组及各组频数如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，14；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，4.(1)请把给出的样本频率分布表中的空格都填上；(2)估计成绩在85分以上学生的比例；(3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90,100)中选两位同学，共同帮助成绩在[40,50)中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．样本频率分布表分组频数频率[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)合计【解析】(1)样本的频率分布表：分组频数频率[40,50)20.04[50,60)30.06[60,70)140.28[70,80)150.30[80,90)120.24[90,100)40.08合计501(2)估计成绩在85分以上的有6＋4＝10人，估计成绩在85分以上的学生比例为1050＝15.(3)[40,50)内有2人，记为甲、A.[90,100)内有4人，记为乙、B、C、D.则“二帮一”小组有以下12种分组办法：(甲，乙，B)，(甲，乙，C)，(甲，乙，D)，(甲，B，C)，(甲，B，D)，(甲，C，D)，(A，乙，B)，(A，乙，C)，(A，乙，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)．其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：(甲，乙，B)，(甲，乙，C)，(甲，乙，D)．所以甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为P＝312＝14.巅峰教育教材研发中心5题型四正难则反法求古典概型的概率例题【例5】有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是()．A.15B.25C.35D.45【答案】B【解析】[一般解法]第一步先排语文书有A22＝2(种)排法．第二步排物理书，分成两类．一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排列，有A24＝12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法．因此同一科目的书都不相邻共有2×(12＋2×2×3)＝48(种)排法，而5本书全排列共有A55＝120(种)，同一科目的书都不相邻的概率是48120＝25.[优美解法]语文、数学只有一科的两本书相邻，有2A22A22A23＝48种摆放方法．语文、数学两科的两本书都相邻，有A22A22A33＝24种摆放方法．而五本不同的书排成一排总共有A55＝120种摆放方法．故所求概率为1－48＋24120＝25，故选B.练习题【练6】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，求至少有一个是一等品的概率．【解析】(1)设A、B、C分别为“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”的事件．由题设条件，知PA·[1－PB]＝14，PB·[1－PC]＝112，PA·PC＝29，解之得PA＝13，PB＝14，PC＝23.即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记D为“从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个是一等品”的事件，则P(D)＝1－P(D)＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－23×34×13＝56，故从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个是一等品的概率为56巅峰教育数学培优教程6一、选择题1．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为()．A.112B.512C.712D.56【答案】A【解析】由题意知，基本事件有A242＝12个，满足条件的基本事件就一个，故所求概率为P＝112.2．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是()．A.15B.310C.25D.12【答案】C【解析】基本事件有C25＝10个，同色球的有C23＋C22＝4个概率为410＝25.3．甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是()．A.12B.13C.1