抛物型方程

一热传导方程如果空间某物体内温度分布不均匀，内部将会产生热应力，当热应力过于集中时。物体就会产生裂变，从而破坏物体的形状，工程技术上称此种现象为裂变。当物体内点处的温度不同时，则热量就从温度较高的点处向温度较低的点处流动，这种现象就是热传导。1初值问题一维热传导方程的初值问题是222(,),,0,(,0)(),.uuafxtxttxuxxx应用Fourier变换解初值问题，可得到0(,)(,)()(,)(,)tuxtKxtddKxtfd其中(,)Kxt22/(4)1,0,20,0.xatetatt若()(,)xC且有界，(,)0fxt时，(,)uxt确定的函数确实是初值问题的有界解。对于多维热传导方程的初值问题，我们同样可以用多维Fourier变换求出它的解的表达式，以三维问题为例，我们有330(,,,)(,,,)(,,)(,,,)(,,,)RtRuxyztKxyztddddKxyztfdd其中2222()/(4)23/21,0(4)(,,,)0,0.xyzatetatKxyztt2混合问题混合问题指由基本方程，初始条件和边界条件构成的问题。实际上，很多物体的运动不仅依赖于初始条件，而且还受边界条件的影响，从而构成微分方程的混合问题。有界杆的热传导问题2(,),0,0,(,0)(),0,(0,)(,)0,0.txxuaufxtxltTuxxtlutulttT初始条件是指开始时刻物体的分布情况，可表示为00(,,,)|(,,)tuxyztxyz边界条件有多种情，第一种情形，在物体边界上能够给定具体的温度分布的约束，即1|(,,)suxyz这种边界条件称为第一类边界条件。第二种情形，在物体边界上仅能给出热流速度的描述，即2|(,,)suxyzn这种边界条件称为第二类边界条件。第三种情形，在物体边界上仅能给出物体内部温度场与外界温度场的另一种变化规律，例如自然冷却情形，周围介质温度为au，物体边界温度为su，自然冷却表现为热流速度与边界温差成正比，于是有|()sasuuun这是第三类边界条件。二扩散方程当物质在空间中的浓度分布不均时，物质将由浓度高的地方向浓度低的地方扩散，例如某种物质不均匀的分布在溶剂时，由于扩散作用，最终会形成浓度均匀的溶液，当两块物体相互接触时，在一定条件下，一种物质也会向另一种物质内部扩散。在空间取某个子区域V，它的边界曲面记为S，边界曲面外法线方向记为n，物质的浓度记为(,,,)utxyz，它既与时间t有关，也与空间位置(,,)xyz有关。扩散定律直接量化描述了扩散过程中物质量的变化规律：(,,,)udmDtxyzdSdtn它表明在dt时间内，物质由V外部经dS沿n方向向内扩散，物质改变量dm与n方向上的浓度变化率un成正比；上式中的(,,,)Dtxyz表示扩散系数，它恒取正值；负号反映了物质总是由浓度高的部分向浓度的部分扩散，扩散方向与un方向相反。一方面，在时间段12,tt内，物质扩散经闭曲面S流入区域V的物质的量为21(,,,)ttsuQDtxyzdSdtn另一方面，同样在时间段12,tt内，由于扩散的缘故，区域V内的物质浓度由1(,,,)utxyz改变为2(,,,)utxyz，区域V内的物质增加量为21((,,,)(,,,))VQutxyzutxyzdV由质量守恒定律，上面两式应该相等；再由格林公式就可化为Q21222222[()]0ttVuuuuDdxdydzdttxyz由1t，2t和V的任意性，就可得到扩散方程222222()uuuuDtxyz0三应用问题的抛物型微分方程模型大家知道，一切稳态的数学物理问题都可以用椭圆型微分方程模型来描述，，若在稳态之前有一个过程，则讨论这种渐进稳定的数学物理过程可以用抛物型为方程模型来描述，因此，把椭圆型和抛物型方程对照分析，可发现抛物型方程的许多应用。1永冻土层上关于路基热传导方程的微分方程模型分析永冻土地上的路基的热传导过程是具有实际应用背景的，人们在永冻土上铺设道路，飞机跑道和某些结构的地基。分析这类地基的结构，有沥青层，干沙层，石子层，绝缘材料层，在下面是湿的沙土层和冻土层，外界的温度是关于时间的函数()at，冻土层的温度是不变的零下温度0T，每个材料层都有热传导率,1,,5ikiL，要分析空气温度传入路基的规律，各材料层的温度分布，半冻砂土层的冻结厚度。首先，由于路基各材料层是均匀的，所以要分析的热传导问题可归为一维的热传导方程研究。第二，路基各材料层由式化为一维热传导方程为22,1,,5iiiiiukuitcxL其中iu是要求解的第i个材料层的分布；ik，ic和i为此材料层的传热系数，比热和密度，它们都是已知的常数，iiikc0第三，层与层的介面处热传导率处于平衡，且温度相等，即111,,,1,,4iiiiiiiuukkuuxLixxL第四，在半冻砂土层假设为湿砂层（5k是其传热系数）的情况下，建立路基热传导微分方程模型为2121110550,(,),,,1,,4(0,)()(,)iiiiiiiiiiiiiiukuxLLtcxuukkuuxLixxutatuLtTL第五，在求解模型得知4xL处温度分布的基础上，估计和计算半冻砂土层的解冻温度。模型表明，各路基材料层的热传导方程是耦合在一起的，耦合条件是材料层之间的界面上的平衡关系，不过用数值方法求解模型，这种材料内界面条件的处理是容易的。2大气污染扩散的微分方程模型排放到大气中的污染物的扩散过程比较复杂，这里仅考虑随风输送扩散的情形，只要了解大气中的污染物浓度分布的情况，就可知道污染扩散的速度和范围。设大气中污染物的浓度为(,,,)cxyzt，大气平稳风速的三个分量分别为,uv和w，在大气中取立方体微元分析污染物的浓度变化规律。先在x轴方向上考虑，由于扩散形式由两部分组成：一部分是由于风速传输造成的，层流扩散浓度cu；另一部分是由大气无规则运动造成的，弥散扩散速度xckx，其中xk是弥散系数，负号表示扩散方向与cx方向相反。这样，在位于x的微元处载面位于xdx的微元载面处浓度分别为||xxxccukx和||xdxxxdxccukx于是单位时间内在x轴方向，流经微元体的污染物的净流量为()xcckdxdydzxxx同理可知，在单位时间内在y轴方向和在z轴方向，流经微元体的污染物浓度净流量分别为()ccvkydxdydzyyy和()zccwkdxdydzzzz仿照热传导方程的推导过程易知，大气中污染物扩散所遵循的规律：()()()xyzcccckkktxxyyzzcccuvwxyz污染扩散模型的求解区域，初边值条件可用如下办法确定。（1）求解区域足够大，污染源在中，污染范围不超过。（2）初始条件0(,,,0)cxyzc是关于污染物在开始考察时刻的浓度分布情况。（3）边值条件，由于足够大，可取边界条件为|0c3加热及燃料供应的微分方程模型矿石在高炉中加热熔炼，铸件在冲天炉中融化为铁水，水在锅炉中加热为蒸汽等等，这些生产中的加热过程都符合热平衡方程式，即工件吸收的热量=热源传入的热量—工件散发的热量为了用数学形式描述加热过程，设工件起始温度为0T,在随时温度为()Tt，加热的目标温度为T:,设工件的比热为c；那么工件()()TttTtT的温度间隔内，工件吸收的热量cT，热件传入工件的热量Q，工件散发的热量0()kTTt令0t，有0()dTdQckTTdtdt其中dTdt表示工件升温的变化率，dQdt表示工件吸热的变化率，0()kTT表示工件散热速率，0k为散热系数。下面讨论吸热与燃烧的关系。设在t到tt的时间间隔内热源传入工件的热量0()Qakutt其中a为热效率系数，0k为发热系数，()ut为燃料供应率，当用油类作为热源时，()ut为单位时间的油类注入量；当用电热作为热源时，2()utRI,等等。令0t，有0(,)dQkauTudt应注意，热效率系数a是关于燃料供应率u和工件温度T的函数。例如，煤气开得过大，由于火焰外窜，燃料不完全燃烧等原因，热效率系数a会变小；另外，当工件温度较低时穿传热效率明显高于工件较高温度时的传热效率。这一特点表明，存在着最大供应率Mu，当0Muu时，工件吸热速率dQdt将随着u增加而增加，当Muu时，工件吸热速率将随着u增加而减少，所以燃料供应速率有要求为0Muu设0t时开始点火，工件初温为0(0)TT,要求在t:时刻达到预定温度()TtT::，此加热过程和燃料供应关系，有如下微分方程模型000(,)()(0),(),0MdTckauTukTTdtTTTuutT::其中00,,,,ckkTT:都是常数，(,)aut可简化为()au且据实验给出。对于实际问题，可提出如下要求：（1）给定供油速率u，问经过多长时间的加热过程，可使工件达到预定温度。关于这个问题，可有模型解的表达式/00()()(1)ktckauuTtTek求解出。（2）已知目标温度为T:，求燃料最优供应率()ut，使燃料总最()qu最省，即0()()mintquutdt:关于这个问题，最简单的办法是给定不同的iu值，用模型算出再比较确定最优油料供应速率，此问题也可从最优控制角度去解决。简而言之，抛物型方程可以用于很多与此类似的模型中，利用抛物型微分方程来建立模型进而用来解决实际生活中的问题带给人们非常多的方便，使一些问题简化，更便于人们理解。能够较好的找到解决问题的方案！