函数与方程思想

1。函数与方程思想2。数形结合思想3。分类讨论思想4。转化与化归思想专题数学思想方法主干知识整合例1.设P（x,y）是椭圆x2+4y2=4上的一个动点，有定点M（1，0），则|PM|2的最大值是（A.B.1C.3D.9解析：PM|2=（x-1）2+y2=(x-1)2+1-又∵-2≤x≤2，∴当x=-222434xx.92maxPM32)34(43222xxD32要点热点探究探究点一运用函数方程不等式的相互转化解相关问题例2.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2.若对任意的x∈［t,t+2］,不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是（A.B.［2,+∞)C.(0,2］D.,2]3,2[]1,2[A例3.若关于x的方程（2-2-|x-2|）2=2+a有实根，则实数a的取值范围是.解析令f(x)=(2-2-|x-2|)2要使f(x)=2+a只需2+a是f(x)的值域内的值.∵f(x)的值域为［1,4)∴1≤a+24,∴-1≤a2.［-1，2）例4解法2：万能公式，令tan2xt，则22222222222222422221sin,cos112()4115(1)4(1)(1)54144419109610410ttxxtttttytttttttttt解法三：|f(x)|=2cos12sin922sin2cos9|2cos2sin|22222xxxxxx.∵2cos12sin922xx=(2cos12sin922xx)(2cos2sin22xx)≥16，∴|f(x)|≤21，∴–21≤f(x)≤21.例5例6变式训练2：设x1、x2是函数)0,,(213)(23aRbaxxbxaxf的两个极值点，的导函数是)()('xfxf.（I）如果x12x24,求)2('f的取值范围；（II）如果0x12,x2-x1=2,求证：41b；（III）如果2a，且21122,(,)xxxxx2,()'()2()gxfxxx时函数的最大值为h（a），求h（a）的最小值.解：（I）对)(xf求导得2()(1)1,fxaxbx1212,()0.24,(2)0,4210,(1)0,(4)0,16430,(2)(2)42(1)1423,xxfxxxfabafabfabab由题意是方程的两根由且得即由（1）（2）所表示的的平面区域可求得024ba，故.3324)2(baf所以).,3()2(的取值范围是f变式训练：设x1、x2是函数)0,,(213)(23aRbaxxbxaxf的两个极值点，的导函数是)()('xfxf.（I）如果x12x24,求)2('f的取值范围；（II）如果0x12,x2-x1=2,求证：41b；（III）如果2a，且21122,(,)xxxxx2,()'()2()gxfxxx时函数的最大值为h（a），求h（a）的最小值.解：（II）方程212,01)1(xxxbax的两根为由根与系数的关系得，121212211122111212111,0,(1)1,111111,1.2()1,2bxxxxaxxbxxxxabxxbxxxxxxx由于两式相除得即由条件可得1111(0,2),(),(0,2),()(2),4xxxx易知当时是增函数当时故b的取值范围是)41,(得证.另解：由（1）问①（-4）+②可得（III）因为,,0)(21xxxf的两根是12()()(),fxaxxxx故可设所以212221122112212212112()()2()()()2()()().2(,),0,0.2,0,2()()211()()()(1)2,2211gxfxxxaxxxxxxaxxxxaxxxxxxxaxxaxxxxagxaxxxxaaaaaaxxxxxxaa由于因此又可知故当且仅当即.1()2,2,.haaaa时取等号所以),2()(,011)(,),2(2在时当ahaaha内是增函数，又,2)(,,2)(在故上连续在ahah上是增函数，所以.29)2()(minhah例8探究点四运用函数与方程的思想解决几何问题解函数问题的几个误区（Ⅰ）定义域和有意义例9已知函数.(1)若此函数在(-∞,1]上有意义，求a的取值范围.(2)若此函数的定义域为(-∞,1]，求a的取值范围.axfxx421)(解函数问题的几个误区（Ⅱ）值域和取值范围例10已知函数f(x)=3x2-(2m+6)x+m+3.(1)若f(x)≥0恒成立，求m的取值范围.(2)若f(x)的值域为，求m的取值范围.R()4fxxax(,1]a例11．函数在上是单调递增的函数，求的取值范围。'2()10fxax(,1]21ax24axax5a略解：在上恒成立，所以恒成立，()4fxxax(,1]a变式：函数区间是的取值范围。，求的单调增'2()10fxax(,1]5a略解：的解集是，解函数问题的几个误区（Ⅲ)恒成立,能成立,恰成立例12求实数a的范围:(1)x2-ax-a0恒成立.(2)存在x,使-x2+ax+a0成立.(3)设a1,不等式的解集为(1,+∞).．lg(0.5)0xxa恒成立（1）mxf)(对任意x都成立mxfmin)(；（2）mxf)(对任意x都成立max)(xfm。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。