高考积分-导数知识点精华总结

定积分一、知识点与方法：1、定积分的概念设函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点011iinaxxxxxb……把区间[,]ab等分成n个小区间，在每个小区间1[,]iixx上取任一点(1,2,,)iin…作和式1()nniiIfx（其中x为小区间长度），把n即0x时，和式nI的极限叫做函数()fx在区间[,]ab上的定积分，记作：badxxf)(，即badxxf)(＝1lim()ninifx。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]ab叫做积分区间，函数()fx叫做被积函数，x叫做积分变量，()fxdx叫做被积式。(1)定积分的几何意义：当函数()fx在区间[,]ab上恒为正时，定积分()bafxdx的几何意义是以曲线()yfx为曲边的曲边梯形的面积。(2)定积分的性质①babadxxfkdxxkf)()(（k为常数）；②bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(；③bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(（其中acb)。2、微积分基本定理如果()yfx是区间[,]ab上的连续函数，并且()()Fxfx，那么:()()|()()bbaafxdxFxFbFa3、定积分的简单应用(1)定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线,()xaxbab，x轴及一条曲线()(()0)yfxfx围成的曲边梯的面积badxxfS)(。如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（ab）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝babadxxfdxxf)()(21。(2)定积分在物理中的应用：①求变速直线运动的路程()basvtdt（()vt为速度函数）②求变力所做的功()baWfxdx二、练习题1、计算下列定积分：(1)2111()exdxxx(2)20(sin2cos)xxdx(3)0(2sin32)xxedx(4)220(4)xxdx(5)31|2|xdx2、求下列曲线所围成图形的面积：（1）曲线222,24yxxyxx；（2）曲线,,1xxyeyex。3、22(sincos)xxdx的值是：A.4B.2C.4D.04、曲线22,yxyx所围成图形的面积是：A.1B.23C.12D.135、已知自由下落物体的速度为vgt，则物体从0t到1t所走过的路程是：A.13gB.gC.12gD.14g6、已知2()321fxxx，且11()2()fxdxfa，则a7、已知1220()(2)faaxaxdx，求()fa的最大值。8、已知()fx为二次函数，且10(1)2,(0)0,()2fffxdx，求：(1)()fx的解析式；(2)()fx在[1,1]上的最大值与最小值。导导数数1.导数（导函数的简称）的定义：设0x是函数)(xfy定义域的一点，如果自变量x在0x处有增量x，则函数值y也引起相应的增量)()(00xfxxfy；比值xxfxxfxy)()(00称为函数)(xfy在点0x到xx0之间的平均变化率；如果极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在，则称函数)(xfy在点0x处可导，并把这个极限叫做)(xfy在0x处的导数，记作)(0'xf或0|'xxy，即)(0'xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000.注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零(趋向0).②已知函数)(xfy定义域为A，)('xfy的定义域为B，则A与B关系为BA.2.函数)(xfy在点0x处连续与点0x处可导的关系：⑴函数)(xfy在点0x处连续是)(xfy在点0x处可导的必要不充分条件.可以证明，如果)(xfy在点0x处可导，那么)(xfy点0x处连续.事实上，令xxx0，则0xx相当于0x.于是)]()()([lim)(lim)(lim0000000xfxfxxfxxfxfxxxx).()(0)()(limlim)()(lim)]()()([lim000'0000000000xfxfxfxfxxfxxfxfxxxfxxfxxxx⑵如果)(xfy点0x处连续，那么)(xfy在点0x处可导，是不成立的.例：||)(xxf在点00x处连续，但在点00x处不可导，因为xxxy||，当x＞0时，1xy；当x＜0时，1xy，故xyx0lim不存在.注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：函数)(xfy在点0x处的导数的几何意义就是曲线)(xfy在点))(,(0xfx处的切线的斜率，也就是说，曲线)(xfy在点P))(,(0xfx处的切线的斜率是)(0'xf，切线方程为).)((0'0xxxfyy4.求导数的四则运算法则：''')(vuvu)(...)()()(...)()(''2'1'21xfxfxfyxfxfxfynn''''''')()(cvcvvccvuvvuuv（c为常数）)0(2'''vvuvvuvu注：①vu,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设xxxf2sin2)(，xxxg2cos)(，则)(),(xgxf在0x处均不可导，但它们和)()(xgxfxxcossin在0x处均可导.5.复合函数的求导法则：)()())(('''xufxfx或xuxuyy'''复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(xfy在某个区间内可导，如果)('xf＞0，则)(xfy为增函数；如果)('xf＜0，则)(xfy为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数)(xfy在区间I内恒有)('xf=0，则)(xfy为常数.注：①0)(xf是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如32xy在),(上并不是都有0)(xf，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样0)(xf是f（x）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7.极值的判别方法：（极值是在0x附近所有的点，都有)(xf＜)(0xf，则)(0xf是函数)(xf的极大值，极小值同理）当函数)(xf在点0x处连续时，①如果在0x附近的左侧)('xf＞0，右侧)('xf＜0，那么)(0xf是极大值；②如果在0x附近的左侧)('xf＜0，右侧)('xf＞0，那么)(0xf是极小值.也就是说0x是极值点的充分条件是0x点两侧导数异号，而不是)('xf=0①.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①：若点0x是可导函数)(xf的极值点，则)('xf=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点0x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数3)(xxfy，0x使)('xf=0，但0x不是极值点.②例如：函数||)(xxfy，在点0x处不可导，但点0x是函数的极小值点.8.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：I.0'C（C为常数）xxcos)(sin'2'11)(arcsinxx1')(nnnxx（Rn）xxsin)(cos'2'11)(arccosxxII.xx1)(ln'exxaalog1)(log'11)(arctan2'xxxxee')(aaaxxln)('11)cot(2'xxarcIII.求导的常见方法：①常用结论：xx1|)|(ln'.②形如))...()((21naxaxaxy或))...()(())...()((2121nnbxbxbxaxaxaxy两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如xxy这类函数，如xxy取自然对数之后可变形为xxylnln，对两边求导可得