2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第三单元第二节 指数与指数函数

第二节指数与指数函数基础梳理1.整数指数幂(1)整数指数幂概念:①②.;③.*();nnaaaanN个0a(0)ana*(0,)anN11na(2)整数指数幂的运算性质①=.②=.mnaa(,);mnZ()mna(,);mnZmnamna③=(m,n∈Z,a≠0);④=(n∈Z).mnaa()nabmnannaba的n次实数方根.2.分数指数幂一般地,如果一个实数x满足，那么称x为.当n是奇数时,.当n是偶数时.=..*xan1,nNn＞nnannaa,a0,0aaaanma1(0);nnaaa()mmnnaa*(0,,,1)amnNn且mna*(0,,,1)amnNn且1mna3.有理指数幂的运算性质,其中s,t∈Q,a＞0,b＞0.1aaastst2aa,tsst3abab,ttt4.指数函数的定义一般地，函数叫做指数函数.y=ax(a0,a≠1)5.指数函数的图象与性质y=axa10a1图象定义域.值域.性质过定点.当x0时,;当x0时,.当x0时,;当x0时,.在(-∞,+∞)上是..在(-∞,+∞)上是..增函数减函数y10y10y1y1R(0,1)(0,+∞)典例分析题型一指数的运算【例1】化简或计算下列各式.(3)已知a,b是方程的两个根，且ab0，求的值1200.533310(1)(2)(0.064)(2)(0.01);527733338152(2);aaaa2640xx1122ab分析有理指数幂的运算应注意“化小数位分数”、“化根式为分数指数幂”的原则。122411()()531029124315161080解(1)原式=71456232()aaa731811516233232()aaaa24513322aa(2)原式=（3）由条件知a+b=6，ab=4,又ab0，所以1122ab11222()262410ababab学后反思（1）当条件给出小数或根式形式时，一般要化小数为分数，化根式为分数指数幂。(2)对于计算结果，如果条件用分数指数幂给出，结果一般也用分数指数幂的形式给出；如果条件用根是形式给出，结果也往往采用根是形式。(3)结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。举一反三1.计算：(1)(2)(3)若，求的值。10.50.25310.25()625;27121121333225(3)(4);6ababab11223xx33222232xxxx解析（1）原式=（2）原式=1110.5()52351035131336322255224ababab11111222223,()27,xxxxxx2212()247,xxxx331112222()(1)3618xxxxxx3322223183124723xxxx(3)题型二指数函数图象的应用【例2】已知函数,(1)作出函数图象;(2)指出该函数的单调递增区间;(3)求值域.21y|2x|分析本题要考虑去绝对值符号,把函数解析式写成分段函数的形式,再作出图象,然后根据图象寻求其单调递增区间和最值.解(1)由函数解析式可得-2.x,2-2,x,2121y2x2x|2x|其图象分成两部分:一部分是的图象,由下列变换可得到:-2)(x21y2x向左平移2个单位另一部分的图象,由下列变换可得到:向左平移2个单位如图为函数的图象.(2)由图象观察知函数在(-∞,-2]上是增函数.(3)由图象观察知,x=-2时,函数有最大值,最大值为1,没有最小值.故其值域为(0,1].x21y2x21y2y2x2xy2x2y2x2x21y2x21y向左平移2个单位学后反思（1）本例也可以不考虑去调绝对值符号，而是直接用图像变换（平移、伸缩、对称）作为，作为如下：保留x≥0部分，将它沿y轴翻折得x0的部分1()2xy1()2xy21()2xy();()fxyfx（2）y=f(x)y=保留y轴右边图像，并做其关于y轴对称图像去掉y轴左边图像保留x轴上方的图像将x轴下方图像翻折上去()yfx举一反三2.指数函数的图象如图所示,则二次函数的顶点横坐标的取值范围是______2yaxbxxbya解析由图可知指数函数是减函数,所以01,而二次函数的顶点横坐为,所以,即二次函数的顶点横坐标的取值范围是xbyaab2yaxbxb21-2ab-a02ab-21-2yaxbx,021-答案：,021-题型三指数函数性质的应用【例3】求下列函数的定义域和值域。213422(1)();(2);(3)2321xxxxxyyy分析指数函数的定义域为R，所以的定义域与f(x)定义域相同；值域则要应用其单调性来求，复合函数则要注意“同增异减”的原则。(0,1)xyaaa()fxya解（1）定义域为R，因为-︱x+1︱≤0,所以，所以值域为1022()()133xy1,（2）因为恒成立，所以定义域为R，又因为，而，所以，所以，因此值域为（0，1）211x2112121xxxy10121x11021x(3)由，解得-4≤x≤1，所以函数y=的定义域为[-4,1],设易得u在是取得最大值,在x=-1或1时，取最小值0，2340xx2342xx234(41)uxxx32x52即。所以函数的值域为，即函数的值域为即函数的值域为502u2uy5022,22342xxy1,42学后反思弄清复合函数的复合过程，利用“同增异减”结论，准确判断其单调性。举一反三3.下列函数中值域为正实数集的是。①②③④11()3xy21;xy115xy11()2xy解析对①，∵的值域为正实数集，而1-x∈R,∴的值域为正实数集;②中，当x=0时，中，y取不到1；④的值域为[0,1)11()3xy11()3xy210x③答案：①题型四指数函数性质的综合应用【例4】(14分)已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;(2)求证:f(x)在(0,1)上是减函数.14x2f(x)x分析求f(x)在[-1,1]上的解析式,可以先求f(x)在(-1,0上的解析式,再去关注x=±1,0三点时的函数值,要注意应用奇偶性和周期性;利用单调性定义来证明.解(1)当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),∵f(x)是奇函数,∴…………………………………2′由f(0)=-f(0),且f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(1)=0………………………………………….4′∴在区间[-1,1]上,有42-142--f(-x)f(x)1xxx--x{-1,0,1}x0,(-1,0),x,142-(0,1),x,142f(x)xxxx…………………………………6′.....................................................................................10(2)证明：当x∈(0,1)时,设,………………………………………………8′则10xx112fxfx1221121212xxxxxxxxx22(2-2)(2-1)-.4141(41)(41)x2112xx120xx1,2-20,2-10.xx′∴f(x)在(0,1)上是减函数…………………………………….14′1212fxfx0,fxfx,13即学后反思本题以指数运算、指数函数的性质为基础进行整合,考查了指数函数及其性质.第(1)问求f(x)的解析式时,易漏掉对x=-1,0,1的讨论;第(2)问对的证明易忽视.12fxfx0举一反三4.(2009无锡质检）已知函数是奇函数（a∈R)（1）求实数a的值；（2）试判断函数f(x)在(-∞,+∞)上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的t∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围.2()21xfxa223(2)(1)02ftmtftm解析（1）由题意可得∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=f(x)22().21xxaafx即，整理得∴a-2=-a,即a=1f(x)=1-22222121xxxxaaaa(2)2222121xxxxaaaa221x12211212222(22)()()02121(21)(21)xxxxxxfxfx(2)设是区间（-∞，+∞）内的任意两个值，且则，即f(x)是（-∞，+∞）上的增函数。（3）由(2)知，f(x)是(-∞,+∞)上的增函数，且是奇函数。12,xx12xx12022xx12220xx12()(),fxfx223(2)(1)02ftmtftm22331(1)22ftmftm且223(2)12tmttm即对任意t∈R恒成立只需解得-6m-2232(2)(1)02tmtm223(2)42(1)81202mmmm易错警示【例】求函数的值域9232xxy错解设，则3，故，从而的值域为[-3,+∞)3xt229,9232(1)xxxttmin3y9232xxy考点演练10.求函数的单调递增区间26112()3xxy解析设当x∈(-∞,3]时，u(x)为减函数，又为减函数所以函数在(-∞,3]上为增函数2()3uy22()611(3)2uxxxx26112()3xxy11.函数的定义域为集合A，关于x的不等式的解集为B，求使A∩B=A的实数a的取值范围2()1xfxx222()axaxaR解析由，得1x≤2,即A={x∣1x≤2}∵是R上的增函数，201xx2xy22,2,(21)axaxaxaxaxa由得即1221axa（1）当2a-10,即a时，又A∩B=A，∴(2)当2a-10，即a=时，x∈R,满足A∩B=A(3)当2a-10,即a时,12,2,2123aABaa解得121221axa11,1,1,2122aABaaaa解得或由（1），（2），（3）得的取值范围是（-∞，)2312.（2010·昆明调研）已知函数（其中a0且a≠1，a为实数).(1)若f(x)=2，求x的值（用a表示）；1()xfxaa（2）若a1，且对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围（用a表示).(2)()0taftmft解析（1）当x0时f(x)=0，当x≥0时,f(x)=由条件可知，=2即解得∵1xxaa1xxaa2210xxaa12xa0,log(12)xaax（2）当t∈[1,2]时，即∵a1,t∈[1,2],2211()()0tttttaamaaa24(1)(1)ttmaa2210,(1)ttama2241,211,