九下第一章--直角三角形的边角关系同步练习1

1九年级数学下直角三角形的边角关系第1节从梯子的倾斜程度谈起1、正切的定义∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA。即tanA=baA的邻边的对边A例1如图1，△ABC是等腰直角三角形，求tanC.例2如图2，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=8，BD=4，求tanA的值。2、坡度的定义及表示我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i表示。斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lhatan注意：（1）坡度一般写成1：m的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）；（2）若坡角为a，坡度为alhitan，坡度越大，则a角越大，坡面越陡。例3如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i＝1：2变成i′＝1：2.5，（有关数据在图上已注明）．求加高后的坝底HD的长为多少？DCBA23、正弦、余弦的定义在Rt△中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。即sinA=ca斜边的对边A∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。即cosA=cb斜边的邻边A例4在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通过计算你有什么发现？请加以证明。4、三角函数的定义锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系：（1）三边之间关系：222cba；（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°；（3）边角之间关系：sinA=ca，cosA=cb，tanA=ba。（其中∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c）例5右图，方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm，CD=6cm斜立在墙上，其中BE=6cm，DE=2cm，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。本节作业：1、如上图，∠C=90°，点D在BC上，BD=6，AD=BC，cos∠ADC=53，求CD的长。32、P是∠POM（即∠a）的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），求sina、tana的值。3、在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD=31，求tanA的值。4、在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=125，周长为30，求△ABC的面积。5、在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是多少？4第2节30°，45°，60°角的三角函数值1、30°，45°，60°角的三角函数值根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。例1求下列各式的值。（1）60tan30sin60sin；（2）45sin22460tan460tan2。本节作业：1、求下列各式的值。（1）45tan30tan330sin2；（2）30cos60tan45cos2。5(3)6tan230°－3sin60°＋2tan45°（4）计算3845cos260sin3。(5)022)30tan45(sin)60cos(160sin260sin60tan245tanooooooo（6）、计算：2202(3)(3.14)8sin45（7）(13)－2－2sin45º＋(π－3.14)0＋128＋(－1)3．2、已知a为锐角，且tana=5，求aaaasincos2cos3sin的值。3、△ABC表示光华中学的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮，已知某种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少花费多少元？6第3节三角函数的有关计算锐角三角函数计算的实际应用仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角。例1某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图。BC//AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡。（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；（精确到0.1m）（2）为确保安全，学校计划改造时，保持坡脚A不动，坡顶B沿BC前进到F点处，问BF至少是多少？（精确到0.1m）（,4751.268tan,3746.068cos,9272.068sin,7660.050sin,6428.050cos1918.150tan）例2、如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF。（参考数据：,84.040tan,77.0cos,64.040sin结果精确到0.1m）7例3、要求45tan的值，可构造如图所示直角三角形,作Rt△ABC,使∠C=90°,两直角边AC=BC=a，则∠ABC=45°,所以145tanaaBCAC。你能否在此基础上，求出3022tan的值？例4、某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂直挂了一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角为60°，测得条幅底端E的仰角为30°。问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（结果用根式表示）例5、某轮船自西向东航行，在A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8千米到达B，测得该岛在轮船的北偏东30°方向上，问轮船继续前进多少千米与小岛的距离最近？（结果用根式表示）第4节船有触礁的危险吗1、方向角的定义方向角：方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边，旋转到观察目标所形成的锐角，方向角也称象限角。8例1、如图，台风来临前，我们海上搜救中心A接到一越南籍渔船遇险的报警，于是指令位于A的正南方向180海里的救援队B立即前往施救。已知渔船所处位置C在A的南偏东34°方向，在B的南偏东63°方向，此时离台风来到C处还有12小时，如果救援船每小时行驶20海里，试问能否在台风来到之前赶到C处对其施救？（参考数据：3234tan,5334sin,263tan,10963sin）2、解直角三角形在直角三角形中，由已知一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为cba、、。（1）三边之间关系：222cba；（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间关系：BbaABcbABcaAtan1tan,sincos,cossin（3）面积公式：)(2121为斜边上的高hchabSABC解直角三角形有如下四种类型：Rt△ABC中，∠C=90°已知选择的边角关系斜边和一直角边ac,由caAsin，求∠A；∠B=90°-∠A，22acb两直角边ba,由baAtan，求∠A；∠B=90°-∠A，22bac斜边和一锐角Ac,∠B=90°-∠A；Acasin；Acbcos一直角边和一锐角Aa,∠B=90°-∠A；Aabtan，Aacsin9例2、如图。滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m。（1）求滑梯AB的长；（用根式表示）（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？3、解直角三角形的实际应用例3台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数千米范围内形成旋风暴，有极强的破坏力。根据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心的最大风力为12级，每远离台风中心20千米，台风就会弱一级。台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市风力达到或超过4级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。（2）若会受到台风影响，那么台风影响该市的持续时间有多长？典型例题：例1在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠ABC=45°，求BC的长。（结果用根式表示）10例2、如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼。甲船以每小时152千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现鱼具丢在了乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇。（1）甲船从C处追赶乙船用了多长时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？例3、某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上。前进100m到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上（如图），在以航标C为圆心，120m为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（73.13）第5节测量物体的高度1、测量底部可以到达的物体的高度测量步骤如图（测量物体MN的高度）：①在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；③量出测倾器的高度AC=a；则物体MN的高度=altan。11例1、升国旗时，沈杰同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升到旗杆顶部时，测得该同学视线的仰角为30°，若双眼离地面1.5m，则旗杆有多高？（结果用根式表示）2、测量底部不可以到达的物体的高度（1）所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离。（2）测量步骤（如下右图。测量物体MN的高度）：①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；②在测点A与物体之间的B处再用测倾器（A、B与N在一条直线上，且A、B之间的距离可以直接测得），测得此时M的仰角∠MDE=β；③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A、B之间的距离AB=b。（3）物体高度MN=ME+EN=)tantantantan(ab米。提示：测量底部不可以到达的物体的高度，求解时常要解两个直角三角形。例2：如上图1，从山顶A处看到地面C点的俯角为60°，看到地面D点的俯角为45°，测得CD=3150米，求山高AB。（精确到0.1米，3≈1.732）12典型例题：例1、如图，两建筑物的水平距离为36m，从A点测得D点的俯角为36°，测得C点的俯角为45°，求这两座建筑物的高度。（sin36°≈0.588,cos36°≈0.412,tan36°≈0.723,结果保留2位小数）例2、如图，河边有一条笔直的公路l，公路两侧是平坦的草地，在数学活动课上，老师要求测量河对岸一点B到公路的距离，请你设计一个测量方案。例3、如图,某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC的度数为30°，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE为3.5m，窗户的高度AF为2.5m，求窗外遮阳篷外端一点D到窗户上缘的距离AD。（结果用根式表示）13直角三角形的边角关系-单元测试题：一、选择题（每小题3分，共24分）1．等腰三角形的底角为30°，底边长为23，则腰长为（）A．4B．23C．2D．222．如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD长为（）A．83B．43C．23D．8(1)(2)(3)3．在△ABC中，∠C＝90°，下列式子一定能成立的是（）A．sinacBB．cosabBC．tancaBD．tanabA4．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有2|tan3|2sin30BA（），则△ABC是（）A．直角（不等腰）三角形B．等腰直角三角形C．等腰（不等边）三角形D．等边三角形5．已知tan1，那么2sincos2sincos的值等于（）A．13B．12C．1D．166．如图2，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时