2019年考研数学二真题与解析

12019年考研数学二真题解析一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x时，若tanxx与kx是同阶无穷小，则k（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】（C）【详解】当0x时，331tan()3xxxox，所以331tan()3xxxox，所以3k．2．曲线3sin2cos()22yxxxx的拐点是（）（A）(0,2)（B）(,2)（C）(,)22（D）33(,)22【答案】（D）【详解】sin2cosyxxx，cossinyxxx，sinyxx，sincosyxxx；令sin0yxx得120,xx，且()0f，所以(,2)是曲线的拐点；而对于点(0,0)，由于(0)0f，而(4)(0)0f，所以不是曲线的拐点．3．下列反常积分发散的是（）（A）0xxedx（B）20xxedx(C）20arctan1xdxx（D）201xdxx【答案】（D）【详解】（1）当x时，2()1xfxx是关于1x的一阶无穷小，当然201xdxx发散；（2）用定义：20201ln(1)|12xdxxx，当然201xdxx发散．4．已知微分方程xyaybyce的通解为12()xxyCCxee，则,,abc依次为（）（A）1,0,1（B）1,0,2(C）2,1,3（D）2,1,4【答案】（D）【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出121rr是特征方程20rarb的实根，从而确定2,1ab；（2）显然，*xye是非齐次方程的特解，代入原方程确定4c．5．已知平面区域{(,)|}2Dxyxy，记221DIxydxdy，222sinDIxydxdy，2223(1cos)DIxydxdy，则（）（A）321III（B）213III（C）123III（D）231III【答案】（A）【详解】（1）显然在区域D22202xy，此时由结论当0x时sinxx知道2222sinxyxy，所以12II；（2）当0x时，令()1cossinfxxx，则()sincosfxxx，()sincosfxxx；令()0fx得到在(0,)2唯一驻点4x，且04f，也就是()1cossinfxxx在4x取得极小值04f，在0,2xx同时取得在[0,]2上的最大值(0)()02ff，也就有了结论，当(0,)2x时，1cossinxx，也就得到了32II；由（1）、（2）可得到321III．6．设函数(),()fxgx的二阶导函数在xa处连续，则2()()lim0()xafxgxxa是两条曲线()yfx，()ygx在xa对应的点处相切及曲率相等的（）（A）充分不必要条件（B）充分必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【答案】（A）【详解】充分性：（1）当2()()lim0()xafxgxxa进，由洛必达法则，2()()1()()10limlim(()())()()()22xaxafxgxfxgxfagafagaxaxa也就是两条曲线在xa对应的点处相切；（2）2()()1()()10limlim(()())()()()22xaxafxgxfxgxfagafagaxaxa由曲率公式23(1)yky可知两条曲线在xa对应的点处曲率相等．必要性不正确的原因在于，虽然相切能得到()()faga，但在相切前提下，曲率相等，只能得到3()()faga，不能确定()()faga，当然得不到2()()lim0()xafxgxxa．7．设A是四阶矩阵，*A为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax的基础解系中只有两个向量，则(*)rA（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】（A）【详解】线性方程组0Ax基础解系中只有两个向量，也就是4()2()213rArAn，所以(*)0rA．8．设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若22AAE，且4A，则二次型TxAx的规范形是（）（A）222123yyy（B）222123yyy（C）222123yyy（D）222123yyy【答案】（C）【详解】假设是矩阵A的特征值，由条件22AAE可得220，也就是矩阵A特征值只可能是1和2．而1234A，所以三个特征值只能是1231,2，根据惯性定理，二次型的规范型为222123yyy．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．20lim2xxxx．【答案】24e解：02(21)22lim2(1ln2)200lim2lim1214xxxxxxxxxxxxeee10．曲线sin1cosxttyt在32t对应点处的切线在y的截距为．【答案】322【详解】32sin,|11costdytdydxtdx，所以切线方程为331(1)222yxx，在y的截距为322．11.设函数()fu可导，2yzyfx，则2zzxyxy.4【答案】22zzyxyyfxyx【详解】3222222,zyyzyyyfffxxxyxxx，22zzyxyyfxyx．12．曲线lncos(0)6yxx的弧长为．【答案】1ln32【详解】2211tansecdsydxxdxxdx66001secln(sectan)|ln3.2sxdxxx13．已知函数21sin()xtfxxdtt，则10()fxdx．【答案】1(cos11)4．【详解】（1）用定积分的分部积分：21111120000102112201021121220100210sin()()|()()sin1sin()sin21sin11|sinsin22211cos|(cos11)44xxxtfxdxxfxxfxdxxdtdxxxdxttdtdxxxdxttxdtxxdxxxdxtx（2）转换为二重积分：22211111120010000sinsinsin11()sin(cos11)24xtxtttfxdxxdtdxxdxdtdtxdxttdtttt14．已知矩阵1100211132210034A，ijA表示元素ija的代数余子式，则1112AA．【答案】45【详解】1112111213141100211100432210034AAAAAA．三、解答题15．（本题满分10分）已知函数2,0()1,0xxxxfxxex，求()fx，并求函数()fx的极值．【详解】当0x时，22ln()xxxfxxe，2()2(ln1)xfxxx；当0x时，()1xfxxe，()(1)xfxxe；在0x处，22000()(0)12(ln1)(0)limlimlim1xxxxxfxfxxxfxx，所以()fx在0x处不可导．综合上述：22(ln1),0()(1),0xxxxxfxxex；令()0fx得到1211,xxe．当1x时，()0fx，当10x时，()0fx，当10xe时，()0fx，当1xe时，()0fx；故11x是函数的极小值点，极小值为1(1)1fe；0x是函数的极大值点，极大值为(0)1f；21xe是函数的极小值点，极小值为21()efee．16．（本题满分10分）求不定积分2236(1)(1)xdxxxx．【详解】22222223623213(1)2ln1(1)(1)1(1)11132ln1ln(1)1xxdxxdxdxxxxxxxxxxxxxxxCx17．（本题满分10分）设函数()yx是微分方程2212xyxyex满足条件(1)ye的特解．（1）求()yx的表达式；（2）设平面区域{(,)|12,0()}Dxyxyyx，求D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．6【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．先求解对应的线性齐次方程0yxy的通解：22xyCe，其中C为任意常数；再用常数变易法求2212xyxyex通解，设22()xyCxe为其解，代入方程，得222211(),()22xxCxeeCxxx，11()2CxdxxCx，也就是通解为：221()xyxCe把初始条件(1)ye代入，得10C，从而得到22().xyxxe（2）旋转体的体积为2222411()()2xxVyxdxxedxee．18．（本题满分10分）设平面区域2234{(,)|,()}Dxyxyxyy，计算二重积分22Dxydxdyxy．【详解】显然积分区域2234{(,)|,()}Dxyxyxyy关于y轴对称，由对称性，显然220Dxdxdyxy；233sin54422220441432sinsin2120DDxyydxdydxdydrdrdxyxy19．（本题满分10分）设n是正整数，记nS为曲线求曲线sin(0)xyexxn与x轴所形成图形的面积，求nS，并求lim.nnS【详解】先求曲线与x轴的交点：令sin0xex得,0,1,2,xkkn当2(21)kxk时，sin0xyex；当2(22)kxk时，sin0xyex．由不定积分1sin(sincos)2xxexdxexxC可得2221sin(1)2kxkkexdxee，22221sin(1)2kxkkexdxee所求面积为0sinnxnSexdx．当n为奇数时，(21)222210220022002(1)2222(1)20sinsinsin11(1)(1)2211111(1)(1)(1)22121nnnkkxxxnkkkknnkkkknnknkSexdxexdxexdxeeeeeeeeeeee7同理：(2)22011sin(1)21nxnneSexdxee显然，有21211limlim21nnnneSSe．所以11lim21nneSe．20．（本题满分11分）已知函数(,)uxy满足关系式22222230uuuxyy．求,ab的值，使得在变换(,)(,)axbyuxyvxye之下，上述等式可化为函数(,)vxy的不含一阶偏导数的等式．【详解】在变换(,)(,)axbyuxyvxye之下(,)axbyaxbyuveavxye