线性代数课件--06-矩阵的秩

1第六讲矩阵的秩主要内容矩阵的秩的概念；初等变换不改变矩阵的秩的原理，以及矩阵的秩的求法；矩阵的秩的基本性质.基本要求理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩的原理；掌握用初等变换求矩阵的秩的方法；知道矩阵的标准形与秩的联系；知道矩阵的秩的基本性质.2第三节矩阵的秩一、概念的引入用初等变换把矩阵化为标准形.11178424633542A解11178424633542A21r21rr11178424634621123rr134rr57001014004621)(1412r237rr0000100462175216rr000010002175721724cc3754cc122cc32cc0000001000010002E3A0002E问题:在的标准形中，左上角的单位矩阵的阶数是否唯一呢？AA在第一节中，已经指出可以证明标准形的左上角的单位阵的阶数是唯一的，完全由确定.这个数也就是的行阶梯形中非零行的行数，这个便是矩阵的秩.AA4二、子式定义在矩阵中，任取行与列，位于这些行列交叉处的个元素，不改变它们在中所处的位置次序而得到的阶行列式，称为矩阵的阶子式.nmAAkk),(nkmk2kkAk例如11178424633542A11826D是的一个2阶子式，的2阶子式共有个.DAA182423CC一般地，矩阵的阶子式共有个.nmAkknkmCC5三、矩阵的秩定义设在矩阵中有一个不等于零的阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于零，那么称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，记作或.ArD1rDAr)(AR)(Ar规定：零矩阵的秩等于0.例1求矩阵和的秩.AB,174532321A00000340005213023012B6,174532321A在中，容易看出一个2阶子式A,013221D的3阶子式只有一个A,0A因此.2)(AR在中，B由于它是行阶梯形矩阵，容易看出它的4阶子式全为零，而以三个非零行的首非零元为对角元的3阶子式不等于零，024400230312因此.3)(BR00000340005213023012B这里的两个行列式分别是和的最高阶非零子式AB7说明根据行列式的展开法则知，在中当所有阶子式全为零时，所有高于阶的子式也全为零，因此把阶非零子式称为最高阶非零子式；A1r1rr矩阵的秩就是中不等于零的子式的最高阶数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；AA当矩阵中有某个阶子式不为0，则As;)(sAR当矩阵中所有阶子式都为0，则At;)(tAR8矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数，这也可以作为矩阵的秩定义，但是这样定义矩阵的秩不能清楚表明矩阵的特征.对于阶矩阵，当时，称为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵.nnAR)(AA由于阶矩阵的阶子式只有一个，当时，所以可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵.nAnA0A.)(nAR9四、矩阵的秩的计算定理3若，则BA~).()(BRAR即两个等价矩阵的秩相等.说明根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即是矩阵的秩.证明10例2设,41461351021632305023A求矩阵的秩，并求的一个最高阶非零子式.AA解析：根据定理3，为求的秩，只需将化为行阶梯形矩阵.AA41461351021632305023A41rr42rr132rr143rr1281216011791201134041461111281216011791201134041461233rr244rr8400084000113404146134rr00000840001134041461所以.3)(AR大多情况下只用初等行变换，不用初等列变换12再求的一个最高阶非零子式.Ar1615026235230A000400140161r因此,3)(0AR41461351021632305023A00000840001134041461在中,找一个3阶非零子式是比较容易的，另外注意到，的子式都是的子式，所以易求得的一个最高阶非零子式0A0AA13502623523.0521162)1(502110652321说明最高阶非零子式一般是不唯一的.上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外观察法也是常用的方法.41461351021632305023A312133003.014例3设,6352132111A已知，求与的值.2)(AR解析：这是一道已知矩阵的秩，讨论其中参数的值的题目.一般有两个途径，一是利用行列式，二是用初等变换.当时，的3阶子式全为零，从而可以计算出参数的值.下面用初等变换解答此题.2)(ARA6352132111A123rr135rr4580443021111545804430211123rr018044302111因为，故2)(AR,01,05即.1,5说明此方法就是，用初等变换，将矩阵化为比较简单的矩阵，然后根据矩阵的秩进行讨论.16例4设,6063324208421221A4321b求矩阵及矩阵的秩.A),(bAB解析：此题中矩阵的前4列与的列相同，如果用初等行变换将化为行阶梯形，则就是的行阶梯形，故从中可同时看出及BAB)~,~(~bABA~AB~)(AR).(BR17122rr132rr143rr22r23rr243rr53r34rr46063332422084211221),(bAB136005120002400112211000050000012001122100000100000120011221由此可见，,2)(AR.3)(BR18注：00000100000120011221rB把此题中的看作方程组的系数矩阵，看作常数项列，则就是增广矩阵，由的行阶梯形矩阵知，这个方程组无解，因为行阶梯形的第3行对应的方程为矛盾方程AbBBbAx.1019五、矩阵的秩的性质若为矩阵，则Anm};,min{)(0nmAR);0)(()(),()(kARkARARART若，则BA~).()(BRARQP、若可逆，则);()(ARPAQR),()(),()}(),(max{BRARBARBRAR特别地，当为列向量时，有;1)(),()(ARbARAR即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不超过所有子块的秩之和.证明20矩阵的秩的性质);()()(BRARBAR,OBAlnnm若则.)()(nBRAR证明)};(),(min{)(BRARABR（下节定理8）（下章例13）21关于矩阵的秩的性质的证明题例5设为阶矩阵，证明An.)()(nEAREAR证因为,2)()(EAEEA由性质6，有)()(AEREAR而),()(EARAER所以.)()(nEAREAR,)2())()((nERAEEAR22例6设为矩阵，为矩阵，证明AnmBmn,nm.0AB证根据性质7，有,)(mnABR而为阶矩阵，所以ABm.0AB关于矩阵的秩的性质的证明题23例7证明的充分必要条件是存在非零列向量和非零行向量，使1)(ART.TA证充分性：根据矩阵的秩的性质7，由有1)(AR;1)()(RAR,),,,(21Tmaaa),,,(21nTbbb另一方面，与都非零，不妨设T,0,011ba则的元有于是A)1,1(,011ba,1)(AR.1)(AR关于矩阵的秩的性质的证明题24必要性：因为,1)(AR所以的标准形为A,1~OOOA根据矩阵等价理论知，存在可逆矩阵和可逆矩阵，使PQ于是QP)0,,0,1(001T关于矩阵的秩的性质的证明题,1QOOOPAQOOOPA125其中,001PQT)0,,0,1(分别是非零列向量和非零行向量.关于矩阵的秩的性质的证明题26六、小结矩阵的秩是用矩阵的最高阶非零子式的阶数定义的；矩阵的秩的求法：根据定义，求最高阶非零子式的阶数，根据初等变换不改变矩阵的秩这条性质，用初等变换将矩阵化为行阶梯形，行阶梯形矩阵的行数就是矩阵的秩；矩阵的秩的性质.可逆矩阵的特征刻画：阶矩阵可逆nAEBAABB使存在,为非奇异矩阵）AA(0det27)(,EBAEABB或使存在是可逆矩阵的伴随矩阵AA个非零行的行阶梯形矩阵有nA)~(EAEAr的行最简形是)~(EAEA的标准形是)()(是满知矩阵的秩AnARA是若干个初等矩阵之积A只有零解齐次线性方程组0Ax有唯一解非齐次线性方程组bAx)(nAA的列秩矩阵的列向量组线性无关)(nAA的行秩矩阵的行向量组线性无关个特征值均非零的nA28作业：P799.(2)(3)P8011.29定理3的证明证先证明：若经过一次初等行变换变为，则AB).()(BRAR设，且的某个阶子式rAR)(Ar.0D下面分3种情况证明，时，当BA)1(jirr在中总能找到与相对应BDr1D的阶子式，且,11DDDD或由于,0D因此,01D从而.)(rBR30343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA21rrBaaaaaaaaaaaa34333231141312112423222122211211aaaaD121122211aaaaDDD132311211aaaaD323112111aaaaDDD131（2）当时，ABkri在中总能找到与相对应BDr1D的阶子式，且,11kDDDD或由于,0D因此,01D从而.)(rBR（3）当时，ABjikrr由于对于变换时结jirr论成立，因此只需考虑这一特殊情形.AB21krr1)的阶非零子式不包含的第1行，这时也是的阶非零子式，故ABrDArD;)(rBR2)的阶非零子式不包含的第1行，ArDA这时把中与对应的阶子式记作BDr1D32qprrkrrD211qpqprrrkrrr212kDD若，则；2p01DD若，则也是2p2D的