2019年全国III卷文科数学高考真题解析

の嬴本德高中数学试题研究解题技巧2019年全国Ⅲ卷文科数学真题解析の嬴本德第1页共23页2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（解析版）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合2{1,0,1,2}{1}ABxx，，则AB（）A．1,0,1B．0,1C．1,1D．0,1,2【答案】A【解析】对集合B：1112xx}1,0,1{BA.【方法解读】对于二次不等式的解法，我们有个小结论：“大于取两边，小于取中间”，请同学们务必掌握。2．若(1i)2iz，则z=（）A．1iB．1+iC．1iD．1+i【答案】D【解析】解法一：利用复数相等法（待定系数法）令biaz，则iibabaiibiaiiz2)()(2)1)((2)1(根据复数相等，有120bababaibiaz1.の嬴本德高中数学试题研究解题技巧2019年全国Ⅲ卷文科数学真题解析の嬴本德第2页共23页解法二：复数四则运算法iiiiiiiiiiiziiz1222122)1)(1()1(2122)1(22.【方法解读】解法一：复数有固定的表达式，在一些情况下需要先假设出复数的表达式，然后将问题转化为解方程的形式，此题的解法一利用了复数相等的性质比较系数，最后得出结论。解法二：但此题有更简单的方法，观察题干中的式子可以发现，用四则运算更加方便。因此比较系数法并不是所有题目都好用，读者要融会贯通，灵活运用。3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A．16B．14C．13D．12【答案】D【解析】解法一：列举法设两位男生分别为A1A2，两位女生分别为B1B2，则所有可能的基本事件有如下24种：A1A2B1B2A2A1B1B2B1A1A2B2B2A1A2B1A1A2B2B1A2A1B2B1B1A1B2A2B2A1B1A2A1B1A2B2A2B1A1B2B1A2A1B2B2A2A1B1A1B1B2A2A2B1B2A1B1A2B2A1B2A2B1A1A1B2A2B1A2B2A1B1B1B2A1A2B2B1A1A2A1B2B1A2A2B2B2A1B1B2A2A1B2B1A2A1其中女生相邻的事件有12种：A1A2B1B2A1A2B2B1A1B1B2A2A1B2B1A2A2A1B1B2A2A1B2B1A2B1B2A1A2B2B2A1B1B2A1A2B1B2A2A1B2B1A1A2B2B1A2A1因此，女生相邻的概率为：212412P.解法二：独立事件和互斥事件法首先男女人数相等，其次是相邻与不相邻互斥相邻与不相邻可能性相等21（不相邻）（相邻）PP.の嬴本德高中数学试题研究解题技巧2019年全国Ⅲ卷文科数学真题解析の嬴本德第3页共23页【方法解读】解法一：列举法是将所有的基本事件一一列出，然后计算所求事件占所有事件的比例即可。该方法的不足在于需要将全部的可能事件列出，容易漏写；而且有时候基本事件太多也不便一一列出。解法二：概率题型特别需要注意的是互斥事件的特点，有时候直接求事件A的概率比较困难，这时可以考虑先求A的互斥事件的概率，最后由公式)A(1)A(PP得出结论。4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【答案】C【解析】由题意知：阅读《红楼梦》的有80人，阅读《红楼梦》或《西游记》的有90人阅读了《西游记》但没有阅读《红楼梦》的人数有90－80=10人又既阅读了《西游记》又阅读了《红楼梦》的有60人阅读《西游记》的人数有10+60=70人因此该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为7.010070P.【方法解读】本题以中国名著为背景，考察了有关概率的基本知识。这里要理解的关键词有“或”和“且”，“或”相当于集合知识中的“并集”，“且”相当于集合知识中的“交集”，只有深刻理解了这些基本概念，才能够处理和解决数学问题。这也给了我们这样的启发：数学不仅考察我们计算能力和逻辑能力，也考察对概念、定义和定理的理解能力。5．函数()2sinsin2fxxx在[0，2π]上的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】解法一：直接求零点法令0)(xf，则0)cos1(sin2cossin2sin22sinsin2)(xxxxxxxxfの嬴本德高中数学试题研究解题技巧2019年全国Ⅲ卷文科数学真题解析の嬴本德第4页共23页0cos10sinxx或20xxx或或故函数xxxf2sinsin2)(在]2,0[上有3个零点.解法二：数形结合法（函数图像法）令02sinsin2)(xxxf，则xx2sinsin2令xxgsin2)(，xxh2sin)(，则)(xgy和)(xhy的图像如图所示：O2232xyxysin2xy2sin由图可知：)(xgy和)(xhy的图像有三个交点因此函数xxxf2sinsin2)(在]2,0[上有3个零点.解法三：求导数法2cos2cos4)1cos2(2cos22cos2cos2)(2sinsin2)(22xxxxxxxfxxxf令]1,1[,cosuxu，则]1,1[,224)(2uuuuh1210)1)(24((0224)(2uuuuuuuh或67322110)(xuuh（右图）2673201210)(xxuuh或（右图）)(xf在)32,0(上单调递减，在)67,32(上单调递增，在)2,67(上单调递减0)67()32(0)2(231)67(23)32(0)0(ffffff又函数)(xf在)67,32(上严格单调递增Oxu326721211xucosx203267)(xfyの嬴本德高中数学试题研究解题技巧2019年全国Ⅲ卷文科数学真题解析の嬴本德第5页共23页)(xf在)67,32(内必有唯一的零点综上所述，函数xxxf2sinsin2)(在]2,0[上有3个零点.【方法解读】解法一：问函数在某定义域内有几个零点，最直接的方法就是将其零点求出来，但此题非常特殊，一般情况下是无法直接求出函数零点的，这时需要另寻他法。比较常见的方法如零点定理法、函数单调性法、函数图像法等。解法二：图像法是将一个函数的零点问题转化为另外两个函数图像的交点问题，即运用了数形结合的思想。通过画出另外两个函数的图像，从图像上来看，两个函数有几个交点，原函数就有几个零点。但注意这里的“交点”不再是函数图像与x轴的交点。解法三：除以上两种方法外，还可以用零点定理结合函数单调性解决该问题，这种方法综合性较强，但却是高中数学最常考的，因此同学们务必掌握！6．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）A．16B．8C．4D．2【答案】C【解析】解法一：由题意，得12141312111135432143154315aqaqaqaqaqaaaaaaaaa4315)1(24321qqqqqa0)1)(4(04343222424qqqqqq（舍）或2242qqq①1115321qqqa②42223111aqaannn.解法二：等比数列前n项和公式法由等比数列前n项和公式qqaSnn1)1(1，得151)1(414qqaS①又4343432412141135aqaqaqaaaaの嬴本德高中数学试题研究解题技巧2019年全国Ⅲ卷文科数学真题解析の嬴本德第6页共23页0)1)(4(0432224qqqq解得2q②11521)21(1)1(141414aaqqaS42223111aqaannn.【方法解读】解法一：由于题干中只说是前4项和，项数不算太多的时候可以直接列出，这样可以避免等比数列求和公式中分式的计算，但也注意注意一点，当项数较多的时候建议采用公式法。解法二：题干中已经说明数列{an}是等比数列，因此可直接运用等比数列前n项和列方程求解。一般先算出公比q，然后再计算首项a1，这样需要注意的是公比q正负的取值情况，同学们要看清题目要求，避免丢分。7．已知曲线elnxyaxx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）A．a=e，b=–1B．a=e，b=1C．a=e–1，b=1D．a=e–1，1b【答案】D【解析】由题意，得)1(ln)(ln)(xaexfxxaexfxx由导数的几何意义)(0xfk，得1121)1(eeaaefk①xxexfxln)(1的切点为)1,1(切线也过切点121bb②综上所述，得1,1bea.【方法解读】该题考察导数的几何意义，即导数是函数图像在x=x0处的切线的斜率，亦即)(0xfk。の嬴本德高中数学试题研究解题技巧2019年全国Ⅲ卷文科数学真题解析の嬴本德第7页共23页8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【答案】B【解析】解法一：割补法将空间图形补成如右图所示的正方体1111DCBAABCD，且连接BD，BE，MN如图所示：显然BDEENBM面,又ENBM,不平行或共线，因此两者必相交①MNNBDNMEDM为BDE的中位线而DEBD因此ENBM.②解法二：过E点作CDEF，连接NF，过M作CDMP，如图所示：不妨设AB=2a，则aaDEEF323260sinaaaFNEFEN2)3(2222①aaCDPC2324343aaaBCPCPB25)2(232222aaCDPD2124141aaaPDDMMP23212222aaaPBMPBM23325232222②ENBM.1A1B1C1DPFの嬴本德高中数学试题研究解题技巧2019年全国Ⅲ卷文科数学真题解析の嬴本德第8页共23页解法三：建立坐标系法（理科+大学知识）取AB=2a，则建立空间直角坐标系xyzC，如图所示：)0,2,0(aB，)3,0,(aaE，)23,0,23(aaM，)0,,(aaN)3,,0(),23,2,23(aaENaaaMBaaaaMB23323)2(23|