弹性力学公式

应用弹塑性力学考试用基本公式-1弹性力学基本方程1平衡方程⎪⎪⎪⎧∂∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂0xzxyxxfzyxττσ1、平衡方程⎪⎪⎪⎪⎨∂∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂0yzyyxyfzyxστττστ0=+fσi在直角坐标系中：简记为：⎪⎪⎩=+∂∂+∂∂+∂∂0zzyzxzfzyxσττ⎧−∂∂∂1σσττσθθ0,=+ijjifσ⎪⎪⎪⎨⎧=++∂+∂+∂=++∂∂+∂∂+∂∂02101rzrrrrzrrffrzrrττστσστθτσθθθθθθii在柱坐标系中⎪⎪⎪⎩⎨=++∂∂+∂∂+∂∂=++∂+∂+∂010zrzzzrzfrzrrfrzrrτσθττθθθii在柱坐标系中：⎪⎩∂∂∂rzrrθiii在球坐标系中应用弹塑性力学考试用基本公式-2()[]()⎪⎪⎪⎧∂∂∂=+++−+∂∂+∂∂+∂∂1110211sin1ϕϕθϕθτστϕτσσσϕτθτϕσfctgrrrrrrrrrr()()[]⎪⎪⎪⎪⎨+++∂+∂+∂=+++∂∂+∂∂+∂∂0311102311sin1ϕθϕϕθϕθθϕθθθϕσστσττϕττϕτθσϕτfctgfctgrrrrrrr()[]⎪⎩=+−++∂+∂+∂03sinϕθϕϕϕϕϕϕσστϕθϕfctgrrrrr2、几何方程：在直角坐标系中⎪⎪⎫∂∂+∂∂=∂∂=yuxvxuxyxγεθri在直角坐标系中：⎪⎪⎪⎪⎬∂∂∂∂∂+∂∂=∂∂=∂∂∂wuwzvywyvyxxyzyγεϕ⎪⎪⎭∂∂+∂∂=∂∂=xwzuzwzxzγε)(1uu+εwvu∂+∂+∂θ简记为体积应变)(2,,jiijijuu+=εzyx∂+∂+∂=θ简记为：体积应变ii在柱坐标系中∂∂∂1应用弹塑性力学考试用基本公式-3uururrr+∂∂∂=εεθ1uururuurzrr∂+∂−∂∂+∂∂=θγθθθθ11体积应变urrzzr∂∂=+∂=εθεθθuurzrzzrzz∂∂+∂∂=∂+∂=γθγθθ()zuurrrurzr∂∂+∂∂+∂∂=θθθ11体积应变zz∂zrzr∂∂γzrrr∂∂∂θiii在球坐标系中∂∂∂uu1ururr⎟⎞⎜⎛∂∂∂=εθ11()θϕγϕθθ∂∂∂∂+∂∂=rrururrur]i[1)(sin1uuctguuurrr+∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∂∂=ϕθϕεϕϕθθ1sin11()γθϕϕϕγϕϕθθϕ∂+∂=∂+∂=ruurur1)(]sin[sinrrr+∂=ϕεϕϕϕγϕ∂+∂=rrrrr)(()()]sin[112ϕθθ∂+∂+∂=uuur体积应变()()]sin[sin2θϕϕϕθϕ∂+∂+∂=ururrrr体积应变3、物理方程（本构方程、广义虎克定律）：应用弹塑性力学考试用基本公式-4其中为工程弹性常数)]([1zyxxEσσνσε+−=xyxyGτγ1=,Eμi以应力分量表示应变分量：1)]([1xzyyEEσσνσε+−=yzyzGGτγ11=μ2(1)EG=+)]([1yxzzEσσνσε+−=zxzxGτγ1=2(1)μ+ii以应变分量表示应力分量：xxGGελθσελθσ22+=+=xyxyxyGGGGγετγετ====22其中λ、G为拉梅系数。μλ=EzzyyGGελθσελθσ22+=+=zxzxzxyzyzyzGGGGγετγετ====22()()()μμμλ+=−+=12211EGijijijGελθδσ2+=简记为：()μ+12εεεθ++=体积应变。zyxεεεθ++=iii以应变能密度函数和应变余能密度函数表示应力和应变：应用弹塑性力学考试用基本公式-5ijijdUεσ∫=0ijijUεσ∂∂=0应变能应变余能*则ijijjUσε∂∂=*0应变余能00UUijij−=εσ4、边界条件：iji外力边界条件：⎪⎧=++xzxyxxTnmlττσ简记为：⎪⎩⎪⎨++=++yzyyxyxzxyxxTlTnmlτστijjiTl=σ⎪⎩=++zzyzxzTnmlσττii位移边界条件：⎪⎧=uu简记为：⎪⎩⎪⎨=vv简记为：iiuu=⎪⎩=ww5、应变协调方程：222应用弹塑性力学考试用基本公式-6∂∂∂=∂∂+∂∂yxxyxyyxγεε22222∂∂∂=∂∂+∂∂zyyzyzzyγεε22222∂∂∂=∂∂+∂∂xzzxzxxzγεε22222⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂xzyxzyyzxyzxxγγγε22⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂⎠⎝yxzyxzyyzxyzxyyγγγε22⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂⎠⎝∂∂∂∂∂∂yxzyxzxyzxyzzγγγε22⎠⎝∂∂∂∂∂∂zyxzyx2．位移法求解的主要方程：以位移分量为基本未知量时，应用弹塑性力学考试用基本公式-72．位移法求解的主要方程：以位移分量为基本未知量时，1°应力分量(),,,ijijijjiiiuvwGuuuxyzσλθδθ∂∂∂=++==++∂∂∂其中()22°平衡方程（拉梅方程）()2,0iiiGGufλθ++∇+=展开为：()20xGGufxθλ∂++∇+=∂其中()20yxGGvfyθλθ∂∂++∇+=∂∂2222∂+∂+∂=∇其中()20zGGwfzθλ∂++∇+=∂222zyx∂+∂+∂=∇3°外力边界条件：3外力边界条件：(2)()()xuvuwuGlGmGnTxxyxzλθ⎧∂∂∂∂∂+++++=⎪∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂()(2)()()()(2)yuvvwvGlGmGnTyxyyzuwvwwGlGGTλθλθ⎪∂∂∂∂∂+++++=⎨∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎪()()(2)zGlGmGnTzxzyzλθ+++++=⎪∂∂∂∂∂⎩3．力法求解的主要方程：应用弹塑性力学考试用基本公式-83．力法求解的主要方程：以应力分量为基本未知量时，协调方程为(Beltrami-Michell方程)：()()221yfffμ∂∂∂∂Θ+()()()()222211[2]1112yxzxyxzfffxxyzfffμμσμμμμμμσμμμ∂∂∂Θ++∇+=−−++∂−∂∂∂∂⎡⎤∂∂∂Θ++∇+=−+−+⎢⎥()()()()222212111[2]1yyxzzyxyzfffzxyzμσμμμμμμσμμμμ+∇+++⎢⎥∂−∂∂∂⎣⎦∂∂∂∂Θ++∇+=−++−∂∂∂∂1zxyzμ∂−∂∂∂()()2211()yzyzffyzyzμτμ∂∂∂Θ+∇+=−++∂∂∂∂()()2211()xzzxyzyzffzxzxμτμ∂∂∂∂∂∂∂Θ+∇+=−++∂∂∂∂()()2211()yxxyffxyxyμτμ∂∂∂Θ+∇+=−++∂∂∂∂()()2211[2]yxzfffμμσμμμ∂∂∂∂Θ++∇+++应用弹塑性力学考试用基本公式-92ff∂∂∂Θ()()21[2]1yxzxxxyzμμσμμμμ+∇+=−−++∂−∂∂∂M()()211()yzyzffyzyzμτμ∂∂∂Θ+∇+=−++∂∂∂∂M其中zyxσσσ++=Θ常体力下，有()21,0ijijμσ+∇+Θ=注意无论是位移法还是力法求解弹性力学问题需要在严格*注意：无论是位移法还是力法求解弹性力学问题，需要在严格的边界条件下求解复杂的偏微分方程组，在数学上往往是比较困难的对于一些典型问题常采用逆解法和半逆解法难的。对于些典型问题，常采用逆解法和半逆解法。双调和函数：应用弹塑性力学考试用基本公式-10双调和函数：1、提出：由于弹性力学方程的复杂性，为了在求解弹性力学问题时减少盲目性，考察应力、应变、位移函数的特点。题时减少盲目性，考察应力、应变、位移函数的特点。2、不计体力（或体力为常数）时，、J1是调和函数。θ由拉梅方程2()0xGGufxθλ∂++∇+=∂222()0GGuxxθλ∂∂++∇=∂∂由拉梅方程2()0yGGvfyθλθ∂++∇+=∂∂2222()0GGvyyθλθ∂∂++∇=∂∂∂∂2()0zGGwfzθλ∂++∇+=∂22()0GGwzzθλ∂∂++∇=∂∂三式相加，有2222222()()()0uvwGGxyzxyzθθθλ∂∂∂∂∂∂++++∇++=∂∂∂∂∂∂三式相加，有xyzxyz∂∂∂∂∂∂弹性力学平面问题求解应用弹塑性力学考试用基本公式-111、基本方程和解法：(i).基本方程有8个：()基本方程有个平衡方程2个：⎪⎪⎨⎧∂∂=+∂∂+∂∂0Xyxxyxτσ⎪⎪⎩⎨=+∂∂+∂∂0Yyxyxyστ⎧1(')εσμσ⎧=−⎪几何方程3个：⎪⎪⎪⎨⎧∂=∂∂=vxuxεε()'1(')'xxyyyxEEεσμσεσμσ=⎪⎪⎪=−⎨⎪物理方程3个：⎪⎪⎪⎩⎨∂∂+∂∂=∂=xvyuyxyyγε2(1')'xyxyEEμγτ⎪+⎪=⎪⎩⎩∂∂xy其中，对于平面应力问题：对于平面应变问题''EEμ','EEμμ==对于平面应变问题：2','11Eμμμμ==−−按位移法求解平面问题：（不妨以求解平面应力问题为例）应用弹塑性力学考试用基本公式-12平衡方程：22211Euuvμμ⎧⎡⎤∂−∂+∂22222211012211xEuuvfxyxyEvvufμμμμμ⎧⎡⎤∂∂+∂+++=⎪⎢⎥−∂∂∂∂⎪⎣⎦⎨⎡⎤∂−∂+∂⎪（Lamé方程）222110122yEvvufyxxyμμμ⎡⎤∂∂+∂⎪+++=⎢⎥⎪−∂∂∂∂⎣⎦⎩（Lamé方程）应力边界条件为：21()()12xEuvuvlmfμμμ⎧⎡⎤∂∂−∂∂⋅++⋅+=⎪⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎪2121()()12syxyyxEvuvulmfxyyxμμμμ⎢⎥−∂∂∂∂⎣⎦⎪⎨⎡⎤−∂∂∂∂⎪⋅++⋅+=⎢⎥⎪∂∂∂∂⎣⎦⎩12sxyyxμ⎪−∂∂∂∂⎣⎦⎩1直角坐标下变形调方程（相容方程）应用弹塑性力学考试用基本公式-131.直角坐标下变形调方程（相容方程）222yxyxεγε∂∂∂+=（220）22yxxy+=∂∂∂∂（2-20）22()(1)yxffσσμ∂⎛⎞⎛⎞∂∂∂++=++⎜⎟⎜⎟（221）22()(1)xyyxxyσσμ++=−++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠（2-21）（平面应力情形）22⎛⎞∂∂22()0xyxyσσ⎛⎞∂∂++=⎜⎟∂∂⎝⎠（2-23）444∂Φ∂Φ∂Φ4422420xxyy∂Φ∂Φ∂Φ∇Φ=++=∂∂∂∂(2-25)应力的应力函数表示22xxfxyσ∂Φ=−∂22yyfyxσ∂Φ=−∂2xyxyτ∂Φ=−∂∂(2-24)应力的应力函数表示：y∂x∂y(,)xyΦ=Φ弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：1∂∂应用弹塑性力学考试用基本公式-14平衡微分方程：（4－1）1ϕρτρϕ∂+∂ρσρ∂∂ρϕσσρ−+0fρ+=21σττ∂∂平衡微分方程：（41）210fϕρϕρϕϕσττρϕρρ∂∂+++=∂∂∂uρρερ∂=∂1uu∂几何方程：1uuρϕϕερρϕ∂=+∂∂∂（4－2）1uuuρϕϕρϕγρϕρρ∂∂=+−∂∂物理方程：1()Eρρϕεσμσ=−12(1)GEρϕρϕρϕμγττ+==E1()Eϕϕρεσμσ=−GE（4－3）(平面应力情形)边界条件位移边界条件()uu=()uu应用弹塑性力学考试用基本公式-15边界条件：位移边界条件：(),suuρρ=()suuϕϕ=()()lmfρρϕρστ+=应力边界条件：()()ssfρρϕρ()()sslmfρϕϕϕτσ+=,uuρϕ为边界上已知位移，,ffρϕ为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）位移单值条件）弹性力学极坐标求解归结为应用弹塑性力学考试用基本公式-16（1）由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数(,)ρϕΦ2224110⎛⎞∂∂∂∇Φ=++Φ=⎜⎟（46）2220ρρρρϕ∇Φ=++Φ=⎜⎟∂∂∂⎝⎠（4－6）（2）由式（4－5）求出相应的应力分量：,,ρϕρϕσστ（2）由式（45）求出相应的应力分量：,,ρϕρϕσστ22ϕσρ∂Φ=∂22211ρσρρρϕ∂Φ∂Φ=+∂∂1ρϕτρρϕ⎛⎞∂∂Φ=−⎜⎟∂∂⎝⎠（4－5）ρ∂ρρρϕ∂∂ρϕρρϕ∂∂⎝