第8章-直线与圆的方程-三稿

1第八章直线与圆的方程现实世界中有许多美妙的曲线.纵横交错的立交桥，行星运动的轨迹……都呈现几何曲线形状，而在数学领域，几何曲线的问题常常用代数方法来研究，使得曲线与代数方程息息相关．例如研究行星运行的轨道需要建立方程，等等.诸如此类的例子体现了几何(曲线)与代数(方程)的互相结合，而这些结合是通过建立坐标系来实现的．本章我们将在平面直角坐标系中，用方程表示圆和直线，并研究他们的相互位置关系，了解直线、圆在现实生活中的应用.本章学习目标学完本章内容，你将能够知道两点间距离公式及中点公式理解直线的倾斜角与斜率建立直线的方程判断两条直线的位置关系了解点到直线的距离公式求解圆的方程判断直线与圆的位置关系进行直线的方程与圆的方程的应用本章目录§8.1两点间距离公式及中点公式§8.2直线的倾斜角与斜率§8.3直线的方程§8.4两条直线的位置关系§8.5点到直线的距离公式§8.6圆的方程§8.7直线与圆的位置关系§8.8直线的方程与圆的方程应用举例2§8.1两点间距离公式及其中点公式在平面几何中，用有刻度的尺子可以测出两点间距离，用直尺和圆规可以确定线段中点位置。那么，如果在平面直角坐标系里，给出两点的坐标，如何求两点间距离以及确定线段中点呢？1.两点间距离公式探究如图8-1，大海中有2个小岛,其中一个在灯塔东60海里偏北80海里1P点处,另一个在灯塔西10海里偏北55海里2P点处(),那么如何确定这两岛之间的距离呢?类似的问题可以通过建立数学模型来解决，即如何求直角坐标平面上两点间距离的问题.一般地，设点11,1()Pxy，22,2()Pxy为直角坐标平面上的任意两点，以1P为始点,、2P为终点，作向量12PPuuur（如图8-3），其坐标12PPuuur=（2x-1x，2y-1y），那么1P，2P两点间的距离12PP就是向量12PPuuur的模21pp.由向量数量积的性质，有212PP=12ppuuuur2=21pp·21pp=21212121(,)(,)xxyyxxyy=212212)()(yyxx从而12PP=212212)()(yyxx这就是平面上任意两点1P，2P间的距离公式，简称为两点间距离公式.用两点间距离公式，可以计算平面直角坐标系内任意两个点之间的距离.例1已知点M（8，10）和N（12，22），求线段MN的长度.解根据平面内两点间的距离公式，得图8-2图8-13MN2222(128)(2210)412=410即线段MN的长为20.例2已知三角形的顶点分别为A（2，6），B（-4，3），C（1，0），求ABC三条边的长.解根据两点间距离公式，可得ABC三条边的长分别为5345)63()24(22AB22(14)(03)2596BC22(12)(06)37AC问题解决大海中有2个小岛,其中一个在灯塔东60海里偏北80海里1P点处,另一个在灯塔西10海里偏北55海里2P点处(如图8-2)，以灯塔为坐标原点建立坐标系，求这两岛之间的距离.练习1、填空题（1）原点O（0，0）到点P（2，-2）的距离是________.（2）已知两点A(1,3)和B（2，0），则线段AB的长度是_________.（3）点A1（-6，-2）到点2A（-4，5）的距离是_____________.（4）已知点M（8，0）和N（2，-1），则线段MN的长度为______________.2、选择题（1）已知两点P（-2，0）和Q（0，5），则P,Q间的距离是()A、29B、7C、3D、29（2）已知两点M1(0,1)和2M(6,5)，则线段12MM的长度是()A、132B、52、C、10D、522.中点坐标公式4如图8-4，已知线段1P2P两个端点的坐标为1P1,1()xy，22,2()Pxy，设线段1P2P的中点为),(yxP，那么中点P的坐标能否用1P和2P的坐标表示出来呢？考察向量PP1和向量2PP，有PP1=),(11yyxx，2PP=),(22yyxx因为PP1与2PP相等，从而yyyyxxxx2121解得2,22121yyyxxx这样，中点P的坐标就可以由点1P，2P的坐标表示出来了，这个公式叫作中点坐标公式，简称中点公式.中点公式告诉我们，线段1P2P中点的横坐标是两个端点1P与2P的横坐标和的一半，而中点的纵坐标是两个端点1P与2P的纵坐标和的一半.例3已知点A（9，-2）和B（-1，3），求线段AB中点Q的坐标.解设点Q的坐标为(x,y)，根据中点坐标公式，有9(1)8422x，21212y所以，线段AB中点Q的坐标是1(4,)2例4已知线段MN，它的中点坐标是(3，2)，端点N的坐标是(1,-2)，求另一个端点M的坐标.解设端点M的坐标为(x,y)，根据中点坐标公式，有213x，2=22y解得3215,22(2)6xy.图8-35所以，端点M的坐标为（5，6）例5已知三角形的三个顶点分别为A（12，2），B（-3，4），C（2，6），(1)画出该三角形；（2）求三角形中BC边上的中线AD的长.解（1）该三角形如图8-4（2）设BC边上的中点D的坐标为（x,y），由中点坐标公式得21223x，5264yD点的坐标为)5,21(，所以2211()(52)191022AD思考交流在例5中，如何求解AB边上的中位线的长度.练习1、填空题（1）已知原点O（0，0）和原点P（4，-2），那么线段OP的中点坐标是___________.（2）已知点M1（-1，3）和2M（5，0），那么线段12MM的中点坐标是_____________.（3）已知点P（6，-2）和Q（3，-8）那么线段PQ的中点坐标yxC(2,6)B(-3,4)A(12,2)10图8-46是_____________.2、选择题已知两点A1（10，0）和2A（-2，4），则线段A12A的中点坐标是()A．(4,2)B．（-1，4）C．（-6,2）D．（-1，2）习题1.已知两点P（2，-1）和Q（-3，-7），求线段PQ的长度.2.已知两点A（3，4）和B（5，-8），求线段AB的中点坐标.3.已知线段AB，它的中点坐标是(-1，2)，端点B的坐标是（-5，7），求另一个端点A的坐标.4.已知线段AB，它的中点坐标是(0，-4)，端点A的坐标是（12，-5），求另一个端点B的坐标.5.已知两点M（-3，m）和N（n，10），且线段MN的中点坐标是(3,-4)，求m，n.6.在ABCD中，已知四点(3,0),(3,0),(0,4)ABC，D（6，4）.求：（1）边BC的长；（2）ABCD的对角线中点.§8.2直线的倾斜角和斜率日常生活中，我们也经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，即=升高量坡度前进量.这里的“坡度”类似于倾斜角的正切值（如图8-5）.探究如果一条直线仅过一个已知点，它就不能被确定，进一步地，再给定它的倾斜程度，就能被确定了．可见，确定直线位置的要素除了两点之外,还可以有直线上一点和直线的方向．通过建立直角坐标系,升高量前进量图8-57点可以用坐标来刻画，那么直线的方向用什么刻画呢？1.直线的倾斜角如图8-6，我们把一条直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.设一条直线的倾斜角为，则的取值范围是0°≤＜180.并且，任何一条直线都有唯一的倾斜角.倾斜角的大小确定了直线的方向.2.直线的斜率在直角坐标系中,我们也可以类似地利用这种方法刻画直线的倾斜程度.倾斜角不是90时，我们把倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即tank（90）例如，倾斜角=60时，这条直线的斜率tan603k.冒泡：如果已知直线上2个点的坐标，能求直线的斜率吗？已知直线过两点1,1()Pxy，22(,)Qxy，且12xx(如图8-6）,那么直线PQ的斜率为211221tan()yykxxxx即211221()yykxxxx图8-68图8-7如果12xx（图8-6（2）），那么直线PQ的倾斜角为90，其斜率不存在.对于不垂直于x轴的定直线而言，它的斜率是一个定值，由该直线上任意两点确定的斜率总是相等的.直线的倾斜角与其斜率k之间有如下关系：零角锐角直角钝角=0°0＜＜90=9090＜＜180kk=0k＞0k不存在k＜0表8-1例1.在同一坐标系中，画出过点A（-2，3），倾斜角分别为下列各值的直线，并求其斜率（近似值精确到0.01）.（1）=30;（2）=0；（3）=140.解：所画图如图8-8.(1)3tan303k；（2）tan00k；(3)tan1400.84k.图8-89例2.分别求经过下列两点的直线的斜率，并画图.（1）(3,2)Q，1(1,3)P；（2）(3,2)Q，2(5,2)P；（3）(3,2)Q，3(3,2)P.解：（1）1325134k；（2）222253k；（3）322033k.如图8-9.问题解决给出直线的倾斜角，分别为零角、锐角、钝角，求直线的斜率.观察并结合表8-1，验证斜率的正负值.练习1.已知下列直线都经过点(0,1),倾斜角分别如下，求各直线的斜率k（近似值精确到0.01）并画图：（1）=35；（2）=100；（3）3=4.2.分别求经过下列两点的直线的斜率：（1）（1，-7），（3，0）；（2）（-3，4），（2，-1）；（3）（-1，3），（3,3）.3.填空：（1）已知直线l垂直于x轴，则直线l的倾斜角是__________，斜率____________；（2）已知直线l垂直于y轴，则直线l的倾斜角是____________，斜图8-910率_____________；（3）直线l倾斜角的取值范围是________________；（4）已知直线AB的斜率为1，那么它的倾斜角是___________.习题1．判断下列说法是否正确：（1）在直角坐标系中，每一条直线有且只有一个倾斜角；（2）在直角坐标系中，每一条直线有且只有一个斜率；（3）在直角坐标系中，任意一组平行直线具有相同的斜率；（4）在直角坐标系中，①当0k时，直线一定通过第一、三象限；②当0k时，直线一定通过第二、四象限；2．过点(1,3)A和点(4,3)B的直线的斜率为_____________．3．直线l经过原点和点(4,4)，则直线l的倾斜角为（）A、45B、135C、45或135D、4§8.3直线的方程我们知道，一次函数ykxb的图象是一条直线，如果把,xy看作未知数，ykxb也是一个方程.为了更好的研究直线及其方程，我们先来考虑确定直线的要素.如前所述，直线的位置既可以由两点确定，也可由一点和一个方向确定．1.直线的点斜式方程探究如图8-9，直线l经过点(1,3)A，斜率为-2，设点P(,)xy为直线l上点除A以外的任意一点，那么点P的坐标(,)xy满足什么条件呢？这个条件可以用一个式子图8-911表示吗？设直线l经过点111(,)Pxy，斜率为k，直线上1P以外的任意一点P的坐标是（,)xy，则1PP的斜率等于k，即11yykxx，故得到方程11()yykxx，显然，点111(,)Pxy也满足此方程.一般地，方程11()yykxx叫做直线的点斜式方程.例1．求满足下列条件的直线的方程：（1）直线经过点(2,3)P，斜率为2；（2）求过点(2,3)P，且倾斜角为45的直线方程.解：（1）由题意，得1x=-2，1y=3，斜率k=2由直线的点斜式方程11()yykxx，得32(2)yx即270xy（2）由题意，得112,3,tan451xy