8.27课上数学建模案例分析

数学建模案例微分方程模型实验目的实验内容1．学会用MATLAB分析求解微分方程模型．2．实验作业．1．数学建模实例．鸭子过河问题慢跑者与狗的问题导弹追踪问题•为什么要建立模型来解决问题呢？•我认为可用“曹冲称象”的例子来说明，如图3。•••大象石头大象重量石头重量变图3小称思想方法的体现奥妙之一：直接去研究、解决问题（图中沿虚线路径），往往很困难，有许多局限性。建立模型是变“直接”为“间接”，能克服局限性，富于智慧。例如没有大秤不能直接称大象，将大象变成石头，对于大象重量而言，这些石头就是大象的模型，问题简化了，就可以用小秤来称大象了；奥妙之二：是同一问题，模型可以多种，充满灵活性，如大象“变成”木头也可以；奥妙之三：是建立模型解决问题如“大象”变“石头”说明模型不是死板地“照像”，而是能充分发挥人的能动性，如可以简化问题、突出重点，又如可以猜想、创造等等。示例1鸭子过河有只鸭子想游到河对岸的某个位置O，如果它的方向始终朝着目标O。求这只鸭子的游动曲线。模型假设1.假设河的两岸为平行直线，河宽为h;2.鸭子游水的速率为b,水流速率为a,均为常数;3.初始时鸭子的位置为A;4.鸭子游动的方向始终指向O.模型建立取O为坐标原点，河岸朝顺水方向为x轴，y轴指向对岸。关键是如何求出P点坐标(x,y)关于时刻t的表达式.t时刻鸭子本身的速度为河水速度为所以合速度为),,(||22yxyxbPObbPO),0,(aa),,(2222yxbyyxbxabav即又由初始条件有(1.1)(1.2)就是所求问题的一个微分方程模型。.)0(,0)0(hyx(1.2),dd,dd2222yxbytyyxbxatx(1.1)模型求解设时间步长为Δt,则,2,1,),(),,(),,(),,0(),(11212112121110000itvPyxPyxbyyxbxavbavhyxPiiiiiiiiiiii(1.3)当yi0时,说明鸭子已经到达河对岸，应停止计算.由(1.3)可以算出ti时刻鸭子的位置的近似值.ixiyiixiyi1010122.01203.592820.30009.4000132.01883.069330.58098.8003141.98912.568040.84138.2016151.92172.093751.08017.6047161.81601.651661.29577.0107171.67211.247971.48676.4207181.49130.889181.65135.8362191.27590.581891.78805.2588201.03000.3329101.89494.6908210.75910.1484111.97014.1344220.47020.0333例如取a=1,b=2,h=10,Δt=0.3,则求得结果为计算(1.3)的Matlab代码a=1;b=2;h=10;dt=0.3;i=1;p=[0,h];whilep(2)0i=i+1;v=[a-b.*p(1)./sqrt(p(1).^2+p(2).^2),-b.*p(2)./sqrt(p(1).^2+p(2).^2)];p=p+v.*dt;holdonplot(p(1),p(2),'p')endp所求得的鸭子经过的路线如右图所示。慢跑者与狗一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率v=1跑步,设椭圆方程为:x=10+20cost,y=20+5sint．突然有一只狗攻击他．这只狗从原点出发,以恒定速度跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者．分别求出=20,=5时狗的运动轨迹．1.模型建立设t时刻慢跑者的坐标为(X(t)，Y(t))，狗的坐标为(x(t)，y(t))．则X=10+20cost,Y=20+15sint.1.设狗的速度恒为,222)()(dtdydtdx则（1）2.由于狗的运动方向始终指向慢跑者，故狗的速度平行于慢跑者与狗的位置的差向量，即,yYxXdtdydtdx0（2）消去参数2222d(1020cos)d(1020cos)(2015sin)d(2015sin)d(1020cos)(2015sin)(0)0,(0)0xwtxttxtyywtyttxtyxy，可得狗的运动轨迹的参数方程2．模型求解(1)w=20时,建立Ｍ文件eq3．m如下:functiondy=eq3(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase3．m如下：t0=0;tf=10;[t,y]=ode45('eq3',[t0tf],[00]);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,'-')holdonplot(y(:,1),y(:,2),'*')在chase3．m中，不断修改tf的值,分别取tf=5,2．5,3．5,…,至3．15时,狗刚好追上慢跑者．ToMATLAB(chase3)建立M文件eq4．m如下:functiondy=eq4(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase4．m如下：t0=0;tf=10;[t,y]=ode45('eq4',[t0tf],[00]);T=0:0．1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,'-')holdonplot(y(:,1),y(:,2),'*')在chase3．m中，不断修改tf的值,分别取tf=20,40,80,…,可以看出,狗永远追不上慢跑者．ToMATLAB(chase4)(2)w=5时返回导弹追踪问题设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰．如果乙舰以最大的速度v0(常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程．乙舰行驶多远时，导弹将它击中？解法一（解析法）假设t时刻导弹的位置为P(x(t),y(t))，乙舰位于),1(0tvQ.由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线PQ就是导弹的轨迹曲线弧OP在点P处的切线，即有xytvy1'0即yyxtv')1(0(1)又根据题意，弧OP的长度为AQ的5倍，即2001'd5xyxvt(2)由(1),(2)消去t,整理得模型:(3)'151)1(2yyx初值条件为:0)0(y0)0('y其解即为导弹的运行轨迹:245)1(125)1(855654xxy当1x时245y，即当乙舰航行到点)245,1(处时被导弹击中.被击中时间为:00245vvyt.若v0=1,则在t=0.21处被击中.轨迹见下图解法二(数值解法)1．建立M文件eq1．mfunctiondy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);2．取x0=0，xf=0．9999，建立主程序ff6．m如下：x0=0,xf=0.9999[x,y]=ode15s('eq1',[x0xf],[00]);plot(x,y(:,1),'b')holdony=0:0.01:2;plot(1,y,'*r')结论:导弹大致在（1，0．2）处击中乙舰.ToMATLAB(ff6)2151'')1(yyx)1/(151''21221xyyyy令y1=y,y2=y1’，将方程（3）化为一阶微分方程组．解法三(建立参数方程求数值解)设时刻t乙舰的坐标为(X(t)，Y(t))，导弹的坐标为(x(t)，y(t))．1．设导弹速度恒为w，则222dd()()ddxywtt（1）2.由于弹头始终对准乙舰，故导弹的速度平行于乙舰与导弹头位置的差向量，即：ddddxXxtyYyt，0（2）消去λ得：2222d()d()()d()d()()xwXxtXxYyywYytXxYy（3）3．因乙舰以速度v0沿直线x=1运动，设v0=1，则w=5，X=1，Y=t.因此导弹运动轨迹的参数方程为：2222d5(1)d(1)()d5()d(1)()(0)0,(0)0xxtxtyytytxtyxy4．解导弹运动轨迹的参数方程建立M文件eq2．m如下：functiondy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);取t0=0，tf=2，建立主程序chase2．m如下：[t,y]=ode45('eq2',[02],[00]);Y=0:0．01:2;plot(1,Y,'-')，holdonplot(y(:,1),y(:,2),'*')ToMATLAB(chase2)5．结果见图1导弹大致在（1，0．2）处击中乙舰，与前面的结论一致．图1图2返回在chase2．m中，按二分法逐步修改tf，即分别取tf=1，0．5,0．25,…,直到tf=0．21时，得图2．结论：时刻t=0．21时，导弹在（1，0．21）处击中乙舰．ToMATLAB(chase2)实验作业1．自己分析解答课本中的食饵模型案例．2．今天课上的案例自己分析做一下。返回返回