广东高考文科数学真题模拟汇编14：数列

广东高考文科数学真题模拟汇编14：数列1．(2009广州一模文数)已知数列na的前n项和为nS，对任意nN*都有12nnaS，则1a的值为，数列na的通项公式na.1．1；12n2.(2010广州二模文数)图2是一个有n层2n的六边形点阵.它的中心是一个点,算作第一层,第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,…,第n层每边有n个点,则这个点阵的点数共有个.图22.2331nn3．(2010广州一模文数)如图3所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为1n2n≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122，111236，1113412，…，则第7行第4个数（从左往右数）为A．1140B．1105C．160D．1423、答案A4．(2010广州一模文数)在等比数列na中，11a，公比2q，若64na，则n的值为．4．答案75．(2011广州一模文数)已知等比数列na的公比是2，33a，则5a的值是.5．答案126．(2011广州二模文数)已知数列na的通项公式是11nnan，则12310aaaaA．55B．5C．5D．556、答案C7．(2012广州一模文数)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，11121213161314112112141512013012015………………………………………图25，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a，第2个五角形数记作25a，第3个五角形数记作312a，第4个五角形数记作422a，…，若按此规律继续下去，则5a，若145na，则n．7．答案35，1013、(2005广东)设平面内有n条直线)3(n，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(nf表示这n条直线交点的个数，则)4(f=____________；当4n时，)(nf．（用n表示）13【答案】5，)2)(1(21nn解：由图B可得5)4(f，由2)3(f，5)4(f，9)5(f，14)6(f，可推得∵n每增加1，则交点增加)1(n个，∴)1(432)(nnf2)2)(12(nn)2)(1(21nn．14、（2006广东）已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是A.5B.4C.3D.214、3302551520511ddada，故选C.15、（2006广东）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以)(nf表示第n堆的乒乓球总数，则)3(f；)(nf（答案用n表示）.512122图2图B15、)3(f10，6)2)(1()(nnnnf16．（2007广东文数）已知数列na的前n项和29nSnn，则其通项na；若它的第k项满足58ka，则k．16.2n-1017．（2007广东文数）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）Ａ．310Ｂ．15Ｃ．110Ｄ．11217.A18.（2008广东文数）记等差数列的前n项和为nS，若244,20SS，则该数列的公差d（）A、2B、3C、6D、718【解析】4224123SSSdd,选B.19（2009广东文科）已知等比数列}{na的公比为正数，且3a·9a=225a，2a=1，则1a=A.21B.22C.2D.219【答案】B【解析】设公比为q,由已知得2841112aqaqaq,即22q,因为等比数列}{na的公比为正数，所以2q,故211222aaq,选B20、（2011•广东文数）已知{an}是递增等比数列，a2=2，a4﹣a3=4，则此数列的公比q=2．20\解答：解：∵{an}是递增等比数列，且a2=2，则公比q＞1又∵a4﹣a3=a2（q2﹣q）=2（q2﹣q）=4即q2﹣q﹣2=0解得q=2，或q=﹣1（舍去）故此数列的公比q=2故答案为：2211．(2012广东文数)若等比数列}{na满足2142aa，则5231aaa_______________．21:4122.(2009广州一模文数)(本小题满分14分)已知数列na的相邻两项1,nnaa是关于x的方程022nnbxxn(N)*的两根,且11a.(1)求证:数列nna231是等比数列;(2)设nS是数列na的前n项和,问是否存在常数,使得0nnSb对任意nN*都成立,若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.22．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列的通项公式、数列前n项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力）(1)证法1:∵1,nnaa是关于x的方程022nnbxxn(N)*的两根,∴.,211nnnnnnaabaa由nnnaa21,得nnnnaa23123111,故数列nna231是首项为31321a,公比为1的等比数列.证法2:∵1,nnaa是关于x的方程022nnbxxn(N)*的两根,∴.,211nnnnnnaabaa∵nnnnnnnnnaaaa23123122312311111231231nnnnaa,故数列nna231是首项为31321a,公比为1的等比数列.(2)解:由(1)得1131231nnna,即nnna1231.∴111121291nnnnnnnaab1229112nn.∴nnaaaaS321nn11122223123221122311nn.要使0nnSb对任意nN*都成立,即1229112nn02112231nn(*)对任意nN*都成立.①当n为正奇数时,由(*)式得1229112nn01231n,即1212911nn01231n,∵0121n,∴1231n对任意正奇数n都成立.当且仅当1n时,1231n有最小值1.∴1.②当n为正偶数时,由(*)式得1229112nn02231n,即1212911nn01232n,∵012n,∴12611n对任意正偶数n都成立.当且仅当2n时,12611n有最小值23.∴23.综上所述,存在常数,使得0nnSb对任意nN*都成立,的取值范围是1,.23．(2010广州一模文数)（本小题满分14分）已知数列na满足对任意的*nN，都有0na，且23331212nnaaaaaa．（1）求1a，2a的值；（2）求数列na的通项公式na；（3）设数列21nnaa的前n项和为nS，不等式1log13naSa对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．23．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：当1n时，有3211aa，由于0na，所以11a．当2n时，有2331212aaaa，将11a代入上式，由于0na，所以22a．（2）解：由于23331212nnaaaaaa，①则有23333121121nnnnaaaaaaaa．②②－①，得223112112nnnnaaaaaaaa，由于0na，所以211212nnnaaaaa．③同样有21212nnnaaaaa2n≥，④③－④，得2211nnnnaaaa．所以11nnaa．由于211aa，即当n≥1时都有11nnaa，所以数列na是首项为1，公差为1的等差数列．故nan．（3）解：由（2）知nan，则211111222nnaannnn．所以13243511211111nnnnnSaaaaaaaaaa1111111111111112322423521122nnnn111112212nn31114212nn．∵11013nnSSnn，∴数列nS单调递增．所以1min13nSS．要使不等式1log13naSa对任意正整数n恒成立，只要11log133aa．∵10a，∴01a．∴1aa，即102a．所以，实数a的取值范围是10,2．24．(2011广州一模文数)（本小题满分14分）已知数列}{na的前n项和为nS，且满足1(nnSanN*).各项为正数的数列}{nb中，对于一切nN*,有11111nkkknnbbbb，且1231,2,3bbb.（1）求数列{}na和{}nb的通项公式；（2）设数列{}nnab的前n项和为nT,求证:2nT.24．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、不等式等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵1nnSa，当1n时,1111aSa,解得112a.……1分当2n时,1nnnaSS111nnaa,得12nnaa,即112nnaa.……3分∴数列}{na是首项为12,公比为12的等比数列.∴1111222nnna.……4分∵对于一切nN*,有11111nkkknnbbbb，①当2n时,有111111nkkknnbbbb，②①②得：111111nnnnnnbbbbbb化简得:11(1)0nnnbnbb,③用1n替换③式中的n，得：211(1)0nnnbnbb,④……6分③－④整理得：211nnnnbbbb，∴当2n时,数列{}nb为等差数列.∵32211bbbb,∴数列{}nb为等差数列.……8分∵121,2bb∴数列{}nb的公差1d.∴11nbnn.……10分(2)证明:∵数列{}nnab的前n项和为nT,∴231232222nnnT,⑤∴2211122222nnnT,⑥⑤－⑥得：21111122222nnnnT……12分1111221212nnn1212nn.∴2222nnnT.……1