全等三角形辅助线

思致超越知行合一Page1of20DCBAEDFCBA全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.EDCBA思致超越知行合一Page2of20EDCBA应用：1、（09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90,BADCAE连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BDCDBA思致超越知行合一Page3of20DCBAP21DCBAPQCBA3、如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证：0180CA5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC应用：三、平移变换例1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为AP，△EBC周长记为BP.求证BP＞AP.思致超越知行合一Page4of20OEDCBA例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.EDCBA四、借助角平分线造全等1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.应用：1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。EDGFCBA(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③思致超越知行合一Page5of20NMEFACBAFEDCBA五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.例2D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1）当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为；BCDNMA应用：1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC∠，60MBN∠，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，．当MBN∠绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．当MBN∠绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（图1）ABCDEFMN（图2）ABCDEFMN（图3）ABCDEFMN思致超越知行合一Page6of202、（西城09年一模）已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.3、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．图1图2图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时LQ；（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（用x、L表示）．思致超越知行合一Page7of20一、倍长中线（线段）造全等（一）例题讲解例1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，5AB，3AC，求中线AD的取值范围。分析：本题的关键是如何把AB，AC，AD三条线段转化到同一个三角形当中。解:延长AD到E，使DADE，连接BE又∵CDBD，CDABDE∴SASCDABDE，3ACBE∵BEABAEBEAB(三角形三边关系定理)即822AD∴41AD经验总结：见中线，延长加倍。例2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DFDE，D是中点，试比较CFBE与EF的大小。证明：延长FD到点G，使DFDG，连接BG、EG∵CDBD，DGFD，CDFBDG∴CDFBDG∴CFBG∵DFDE∴EGEF在BEG中，EGBGBE∵CFBG，EGEF∴EFCFBE例3、如图，ABC中，ACDCBD，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.证明方法一：利用相似论证。证明：∵ACDCBD∴BCAC21∵E是DC中点∴ACDCEC2121，BCAACE∴BCA∽ACE∴CAEABC∵DCAC∴DACADC，BADABCADC∴CAEDAEBADABC∴DAEBAD即AD平分BAE证明方法二：利用全等论证。ECABDECABDGFECABD思致超越知行合一Page8of20图1MNCABDNECABDM图2证明：延长AE到M，使AEEM，连结DM易证CEADEM∴MDEC，DMAC又∵ACDCBD∴DMBD，CADADC又∵CADCADB，ADCMDEADM∴ADBADM∴ADBADM∴DAEBAD即AD平分BAE（二）实际应用：1、（2009崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90CAEBAD，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点。探究：AM与DE的位置关系及数量关系。（1）如图1当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图1中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转（900）后，如图2所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。解：（1）AMED2，EDAM；证明：延长AM到G，使AMMG，连BG，则ABGC是平行四边形∴BGAC，180BACABG又∵180BACDAE∴DAEABG再证：ABGDAE∴AMDE2，EDABAG延长MN交DE于H∵90DAHBAG∴90DAHHDA∴EDAM（2）结论仍然成立．证明：如图，延长CA至F，使FAAC，FA交DE于点P，并连接BF∵BADA，AFEA∴EADDAFBAF90∵在FAB和EAD中MECABDGCHABDMNEFCPABDMNE思致超越知行合一Page9of20DABAEADBAFAEFA∴EADFAB（SAS）∴DEBF，AENF∴90AENAPEFFPD∴DEFB又∵AFCA，MBCM∴FBAM//，且FBAM21∴DEAM，DEAM21二、截长补短（一）例题讲解例1、如图，ABC中，ACAB2，AD平分BAC，且BDAD，求证：ACCD证明：过D作ABDM，垂足为M∴90BMDAMD又∵BDAD，DMDM∴BDMADM∴BMAM∵ACAB2∴AMAC∵AD平分BAC∴CADBAD在ADC和ADM中AMAC，CADBAD，ADAD∴ADCADM∴90ADMACD即:ACCD例2、如图，BDAC//，EA，EB分别平分CAB，DBA，CD过点E，求证：BDACAB证明：在AB上截取ACAF，连接EF在CAE和FAE中AEAEFAECAEAFAC∴FAECAE∴FEACEA∴90FEBFEABEDCEAMCABDFEDABC思致超越知行合一Page10of20即DEBFEB在DEB和FEB中DBEFBEBEBEDEBFEB∴FEBDEB（ASA）∴BFBD∴BDACBFAFAB例3、如图，已知在ABC内，60BAC，40C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BPABAQBQ证明：延长AB到D，使BPBD，连接PD．则5D∵AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线，60BAC，40C∴3021，804060180ABC，C4043∴QCQB又80435D∴40D在APD与APC中APAP，21，40CD∴APCAPD（AAS）∴ACAD即QCAQBDAB∴BPABAQBQ例4、如图，在四边形ABCD中，BABC，CDAD，BD平分ABC.求证：180CA解：过点D作BCDE于E，过点D作ABDF交BA的延长线于F∵BD平分ABC∴DFDE，90DEBF在CDERt和ADFRt中DFDECDAD∴