元素法 定积分在几何学上的应用

第一讲元素法定积分在几何学上的应用定积分几何应用物理应用元素法面积、体积、弧长…功、水压力、引力…元素法定积分在几何学上的应用一、元素法二、定积分在几何学上的应用元素法定积分在几何学上的应用一、元素法二、定积分在几何学上的应用元素法应用定积分解决实际问题的常用方法用定积分解决的问题的特点:所求量联系着一个基本区间所求量对区间具有可加性元素法的主要步骤:选取积分变量,确定积分区间;求出所求量对应于一个小区间的元素;写出所求量积分表达式元素的求法:在微小的局部以直代曲以不变代变元素法定积分在几何学上的应用一、元素法二、定积分在几何学上的应用元素法定积分在几何学上的应用一、元素法二、定积分在几何学上的应用二、定积分在几何学上的应用（一）平面图形的面积（二）体积（三）平面曲线的弧长二、定积分在几何学上的应用（一）平面图形的面积（二）体积（三）平面曲线的弧长（一）平面图形的面积1．直角坐标情形2．极坐标情形（一）平面图形的面积1．直角坐标情形2．极坐标情形曲线与直线及x轴所围曲边梯形面积定积分几何意义xbaoy)(xfyxxxd元素法:积分变量:x积分区间:[a，b]面积元素:dA所求面积:()ddbbaaAAfxx微小的局部“以直代曲”例1计算由两条抛物线：y2=x、y=x2所围成的图形的面积xoy1xx+dx积分变量:x分析:积分区间:[0，1]面积元素:所求面积:120()dAxxx例2计算由抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积xoyyy+dy积分变量:y分析:积分区间:[-2，4]面积元素:所求面积:422142(+)dAyyy-24法一例2计算由抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积.xoy积分变量:y分析:积分区间:[-2，4]面积元素:所求面积:422142(+)dAyyy28法一积分变量:x积分区间:[0，8]面积元素:所求面积:280222(24)ddAxxxxx法二较繁！例3求椭圆所围图形的面积.xoyxyAdd利用对称性,有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得202dsin4ttbaba4212ba分析（一）平面图形的面积1．直角坐标情形2．极坐标情形（一）平面图形的面积1．直角坐标情形2．极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.()xd元素法:积分变量:θ积分区间:[α,β]面积元素:dA所求面积:21()d2dAA微小的局部“以不变代变”例4对应从0变到2所围图形面积.计算阿基米德螺线xa2od计算心形线所围图形的面积.xa2od例5心形线是外摆线的一种注2222yxaxayx即(1cos)a方程:参数的几何意义oxyaaa2oxy计算心形线与圆所围图形的面积.例6例7a求双纽线所围图形面积.yox44用定积分表示该双纽线与圆2sina所围公共部分的面积.思考二、定积分在几何学上的应用（一）平面图形的面积（二）体积（三）平面曲线的弧长二、定积分在几何学上的应用（一）平面图形的面积（二）体积（三）平面曲线的弧长(二)体积1．旋转体的体积2．平行截面面积已知的立体体积(二)体积1．旋转体的体积2．平行截面面积已知的立体体积xyoabxyoab)(xfy求由连续曲线段绕x轴旋转一周围成的立体体积.连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积.2)]([yyddcVxxoy)(yxcdy元素法:积分变量:x积分区间:[a，b]体积元素:Vd所求体积:2()dbbaaVVfxxd微小的局部“以不变代变”类似地:ayxb计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而成的椭球体的体积.利用直角坐标方程)(22axaxaaby法一(利用对称性)oaV02xyd2x例8分析利用参数方程法二aV02xyd2ttabdsin232xyoa2计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.绕x轴旋转而成的体积为xyVaxd202ay例9分析绕y轴旋转而成的体积为注)(2yxx)(1yxx也可按柱壳法求出yVxxxdy柱面面积柱壳体积(二)体积1．旋转体的体积2．平行截面面积已知的立体体积(二)体积1．旋转体的体积2．平行截面面积已知的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),A(x)在[a,b]上连续,求立体的体积元素法:积分变量:x积分区间:[a，b]体积元素:Vd所求体积:()ddbbaaVVAxx微小的局部“以不变代变”xabx)(xA例10一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,与底面交成角,计算该平面截圆柱体所得立体的体积.垂直于x轴的截面是直角三角形其面积为oRxyx分析tan)(21)(22xRxA)(RxR二、定积分在几何学上的应用（一）平面图形的面积（二）体积（三）平面曲线的弧长二、定积分在几何学上的应用（一）平面图形的面积（二）体积（三）平面曲线的弧长0M1iMiMnMAByox即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理ni10lims定义当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,则称此极限为曲线弧AB若在弧AB上任意作内接折线,的弧长.任意光滑曲线弧都是可求长的.计算(1)参数方程情形曲线弧:AByox和在[α,β]上具有连续导数积分变量:t积分区间:[α,β]弧长元素:ds所求弧长:22()()ddssttt()ddxtt()ddytt22()()dttt计算摆线一拱的弧长.例11xyoa222()()ddsttt(2)直角坐标方程情形xyd12xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs曲线弧:弧长元素:所求弧长:例12cxbboy两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,)(chbxbcxcy下垂成悬链线.求这一段弧长.悬链线方程为例13求连续曲线段的弧长.22()()ddstttd)]([)]([22yx22()()dsd(3)极坐标方程情形曲线弧:参数方程:弧长元素:所求弧长:22()()ds例14求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.(0)aaxa2oar内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程3.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程直角坐标方程直角坐标方程2.体积旋转体的体积绕x轴绕y轴已知平行截面面积函数的立体体积