经典易错题会诊与试题预测06

第1页经典易错题会诊与试题预测(六)考点6平面向量经典易错题会诊命题角度1向量及其运算命题角度2平面向量与三角、数列命题角度3平面向量与平面解析几何命题角度4解斜三角形探究开放题预测预测角度1向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合预测角度2平面向量为背景的综合题命题角度1向量及其运算1(典型例题)如图6-1，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角θ取何值时BP．CQ的值最大?并求出这个最大值．[考场错解],||)()(,,2BQQPCBQPCBBQBQBQCBBQBQCQBPBQCBCQQPBQBP此后有的学生接着对上式进行变形，更多的不知怎样继续．[专家把脉]此题是湖北省20典型例题)已知，|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为45°，当向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时，求实数A的范围．[考场错解]由已知a·b=|a||b|·cos45°=3，∵a+λb与λa+b的夹角为锐角，∴(a+λb)·(λa+b)0即λ|a|2+λ|b|2+(λ2+1)a·b=0，∴2λ+9λ+3(λ2+1)0，解得λ6851168511或∴实数λ的范围是68511,,68511[专家把脉]解题时忽视了a+λb与aλ+b的夹角为0的情况，也就是(a+λb)·(λa+b)0既包括了a+λb与λa+b的夹角为锐角，也包括了a+λb与λa+b的夹角为0，而a+λb与λa+b的夹角为0不合题意．[对症下药]由已知a·b=|a|·|b|，|b|×cos45°=3．又a+λb与λa+b的夹角为锐角，∴(a+λb)·(λa+b)0，且a+λb≠μ(λa+b)(其中μk,μ0)由(a+λb)·(λa+b)0，得|a|2+λ|b|2+(λ2+1)a·b0即3λ2+11λ+30，解得λ6851168511或．由a+λb≠μ(λa+b)，得μλ≠1,μ≠λ，即λ≠1，综上所述实数λ的取值范围是(-∞，6851168511,1)∪(1，+∞)．3．(典型例题)已知O为△ABC所在平面内一点且满足032OCOBOA，则△AOB与△AOC的面积之比为第2页()A．1B.32.23CD．2[考场错解]OCOBOOCOBOA2∴O在BC边上，且||2||OCOB,又△AOB与△AOC高相等，∴△AOB与△AOC的面积之比为2，∴选D．[专家把脉]缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有O为△ABC的重心的情况下，才有OOCOBOA，而本题无此已知条件．[对症下药](1)如图6-3，在AB上取一点D，使OBOAOBOAODABDDBAD3231212211,2|,|2||得的比分又由已知,,3231OCODOBOAOC∴O为CD的中点，不妨设S△AOC=S，则S△AOD=S(∵两者等底同高)∴,23|),|2||(,21SSBDADSSAOBBOD△AOB的面积与△AOC的面积之比为3：2，选B．(2)不妨设A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，O(x,y)，则由专家会诊向量的基本概念是向量的基础，学习时应注意对向量的夹角、模等概念的理解，不要把向量与实数胡乱类比；向量的运算包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时不要过分偏重坐标式，有些题目用向量式来进行计算是比较方便的，那么对向量的加、减法法则、定比分点的向量式等内容就应重点学习，在应用时不要出错，解题时应善于将向量用一组基底来表示，要会应用向量共线的充要条件来解题.考场思维调练1△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且.432OOCOBOA(1)求||AB1．答案：由已知得2OCOBOA43，所以62114121||2||)(||.41,1||||||,||16||912||4,||16)32(2222222222OAOAOBOBOAOBABOBOAOCOBOAOCOBOBOAOAOCOBOA即(2)求△ABC的面积．答案：设∠AOB=θ，∠AOC=，∠BOC=，由OA·OB=41，得cosθ=41，sinθ=415，S△AOB=21|OA|·|OB|sinθ=21×1×1×815415同理可求得cos=-1611，sin=15163，S△AOC=15323．cosγ=-87，sinr=81，S△BOC=21×.1615815第3页由于θ为锐角，,为钝角，所以OC不可能在△AOB内部，故△AOB、△AOC、△BOC互不重叠∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=15329．2已知向量a=(1，1)，b：(1，0)，c满足a·c=0，且|a|=|c|，b·c0．(1)求向量c；答案：设=(m，n)，由a·c=0，得m+n=0再由，|a|=|c|，得m2+n2=2，联立2022nmnm，解得m=1，n=-1或m=-l，n=1，又∵b，c=(1，0)·(m，n)=m0．∴m=1，n=-1，c=(1，-1)．(2)若映射f:(x，y)+(x’，y’)=xo+yc，将(x，y)看作点的坐标，问是否存在直线l，使得l上任一点在映射f的作用下的点仍在直线l上，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．答案：xa+yc=y(1，1)+y(1，-1)=(x+y，x-y)，则f:(x，y)→(x+y，x-y)．假设存在直线l满足题意．当l的斜率不存在时，没有符合条件的直线l;当l的斜率存在时，设l：y=kx+m，在l上任取一点p(x0,y0)，则p在映射f作用下的点Q(x0+y0，x0-y0)，Q也应在l上，即x0-y0=k(x0+y0)+m又(x0，y0)在l上∴y0=kx0+m，整理得(1-2k-k2)x0-(k+2)m=0，此式对于任意x0恒成立．∴1-2k-k2=0，(-k+2)m=0．解得k=-1±2，m=0，综上所述，存在直线l：y=(-1±2)x符合题意．3已知A、B、C三点共线，O是该直线外一点，设OA=a，,,cOCbOB且存在实数m，使ma-3b+cO成立．求点A分所成的比和m的值．答案：解：设点A分BC所成比为λ，则BA=λAC，所以OA-OB=λ(OC-OA)．即a-b=λ(c-d)，则(1+λ)a-b-λc=0(1)由已知条件得c=3b-ma代人(1)得(1+λ)a-b-3λb+mλa=0，即(1+λ+mλ)a-(1+3λ)b=0∵OBOA不共线，a、b不共线∴1+λ+mλ=0，1+3λ=0，解得λ=-31，m=2．∴A分BC所成的比为-31，m=2．1.（典型例题）设函数f(x)=a·b,其中a=(2cosx,1),b=(cosx,]3,3[,3x且)求x;(2)若函数y=2sin2x的图像按向量c=(m,n)(|m|2)平移后得到函数y=f(x)的图像，求实数m、n之值.[考场错解]（1）依题意，f(x)=2cos2x+).32sin(212sin3xx由;3,332,323,33,23)32sin(,31)32sin(21xxxxxx即得(2)函数y=2sin2x的图像按向量c=(m,n)平移后得到y=2sin2(x+m)-n的图像，即y=f(x)的图像，由（1）得f(x)=2sin2(x+.1,12,2||,1)6nmm第4页[专家把脉]“化一”时出错，,1)32sin(21)62sin(212sin32cos2cos2sin3cos22xxxxxxx不是第（2）问在利用平移公式的时有错误.[对症下药]（1）依题设，f(x)=,23)62sin(,31)62sin(21),62sin(212sin3cos22xxxxx得由;4.362,65622,33xxxx即(2)函数y=2sin2x的图像按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图像，即函数y=f(x)的图像，由（1）得f(x)=2sin2(.1)12x.1,12,2||nmm2.(典型例题)已知i,j分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，*).,2(2,5,1121NnnAAAAjOAjOAmnnn（1）求.)2(;87的坐标和求nnOBOAAA[考场错解]（1）由已知有||21||,211111nnnnnnnnAAAAAAAA得).222(22222)1(23||||||||).0,29(,29292141||||||||)2(;161,161||,)21()21(||121144441211878732111nOBnnBBBBOBOBOAOAAAAAOAOAAAAAAAAAnnnnnnnnnnnnnnnnn得得[专家把脉]向量是一个既有方向又有大小的量，而错解中只研究大小而不管方向，把向量与实数混为一谈，出现了很多知识性的错误.[对症下药]（1）,)21(4121,21,2216657687111AAAAAAAAAAAAAAAnnnnnnn1nA.1614)21(,46871221jjAAjOAOAAA又).12,12(,)12()12()22()1(33).29,0(.)29(2124,21,2121)1()2(1144412114132111nnOBjninjinjjBBOBOBOAjjjjjAAAAOAOAjAAjAAAAnnnnnnnnnnnnnnnnnn的坐标是同理的坐标为知由3.（典型例题)在直角坐标平面中，已知点P1(1，2)，P2(2，22)，P3(3，23)…,Pn(n，2n)，其中n是正整数，对平面上任一点Ao，记A1为Ao关于点P1的对称点，A2为A1，关于点P2的对称点，…，An为An-1关于点Pn的对称点．(1)求向量2AAo的坐标；(2)当点Ao在曲线C上移动时.点A2的轨迹是函数y=f(x)的图像，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x∈(0，3)时f(x)=lgx．求以曲线C为图像的函数在(1，4)上的解析式；第5页(3)对任意偶数n，用n表示向量noAA的坐标．[考场错解]第(2)问，由(1)知2AAo=(2，4)，依题意，将曲线C按向量(2，4)平移得到y=f(x)的图像．∴y=g(x)=f(x-2)+4．[专家把脉]平移公式用错，应该为y=g(x)=f(x+2)-4．[对症下药](1)设点Ao(x，y)，Ao关于点P1的对称点A1的坐标为A1(2-x，4-y)，A1关于点P2的对称点A2的坐标为A2（2+x，4+y），所以，2AAo=｛2，4｝．(2)∵2AAo=｛2，4｝，∴f(x)的图像由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到．因此，曲线C是函数y=g(x)的图像，其中g(x)是以3为周期的周期函数，且当x∈(-2，1)时，g(x)=1g(x+2)-4，于是，当x∈(1，4)时，g(x)=1g(x-1)-4．.3)12(4,3)12(2,22)2,12,12,1(2)(2,22)3(1314321122222422nnnnnnOkkknnOnOnnPPPPPPAAkPPAAAAAAAAAA得由于专家会诊向量与三角函数、数列综合的题目，实际上是以向量为载体考查三角函数、数列的知识，解题的关键是利用