考研数学四历年真题与解析

NBF辅导，真正为考研人着想的辅导!考研辅导，全程包过，不过退款!QQ客服：2963120401997年数学四试题分析(NBF真题计划：公共课最准，专业课最全!)一、填空题（1）设()()ln,fxyfxe=其中f可微，则dy=答应填()()()()''1lnln.fxefxfxfxdxx⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦分析()()()()()()lnlnlnfxfxfxdydfxedfxefxde⎡⎤⎡⎤==⋅+⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()''''1lnln1lnlnfxfxfxfxdxefxefxdxxefxfxfxdxx⎡⎤⎢⎥=⋅+⋅⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎣⎦（2）若函数()()13201,1fxxfxdxx=++∫则()10fxdx=∫答应填.3π分析定积分()10fxdx∫是一常数，设为A，则()111320001dxAfxdxAxdxx==+⋅+∫∫∫141001arctan444AxAxπ=+⋅=+故.3Aπ=（3）设n阶矩阵0111110111110111110111110A⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则A=答应填()()111.nn−−−分析观察矩阵A，发现除对角线上元素为0外，其余均为1，若将各行（列）相加便产生公因子1,n−NBF辅导，真正为考研人着想的辅导!考研辅导，全程包过，不过退款!QQ客服：296312040于是A=()11111011111011110n−()1111010023,10001nn−−−第，，行去第一行得()()111.nn−=−−（4）设,AB是任意两个随机事件，则()()()(){}PABABABAB++++=答应填0分析由于事件AB+与事件AB+是互逆的，()()Φ,ABAB++=因此()(){}0,PABAB++=（5）设随机变量X服从参数为()2,p的二项分布，随机变量Y服从参数为()3,p的二项分布，若{}51,9PX≥=则{}1PY≥=答应填19.27分析通过{}51,9PX≥=求出p值，从而求出{}1PY≥由{}{}251101,9PXPXq=≥=−==−故21,3qp=−=从而{}{}3321911011.327PYPYq⎛⎞⎟⎜≥=−==−=−=⎟⎜⎟⎜⎝⎠二、选择题（1）设函数()()561cos20sin,,56xxxfxtdtgx−==+∫则当0x→时，()()fxgx是的（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小NBF辅导，真正为考研人着想的辅导!考研辅导，全程包过，不过退款!QQ客服：296312040（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小答应选B分析多次利用洛必达法则，求极限()()0lim,xfxgx→并利用0sinlim1.xxx→=()()()24500sinsin1coslimlimxxfxxxgxxx→→⋅−=+()()()()33402230200sin1coslim2sin1coscos1coslim3421cos2sinlimlim0.3438xxxxxxxxxxxxxxxxx→→→→−=+⋅−⋅−=+−===++（2）若函数()()(),fxfxx−=−∞+∞在(),0−∞内()'0fx且()''0fx，则在()0,+∞内有（A）()'0fx，()''0fx（B）()'0fx，()''0fx（C）()'0fx，()''0fx（D）()'0fx，()''0fx答应选C分析由()()(),fxfxx−=−∞+∞知()fx的图形关于y轴对称。由在(),0−∞内()'0fx且()''0fx知，()fx的图形在(),0−∞内单调上升且是凸的；由对称性知，在()0,+∞内，()fx的图形单调下降（()'0fx），且是凸的（()''0fx），即（C）正确。（3）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（A）122331,,.αααααα++−（B）1223123,,2.ααααααα++++（C）1223312,23,3.αααααα+++（D）123123123,2322,355.ααααααααα++−++−答应选CNBF辅导，真正为考研人着想的辅导!考研辅导，全程包过，不过退款!QQ客服：296312040分析对于（A）由于()()312312,αααααα−=+−+故它们线性相关。对于（B）由于()()12312232ααααααα++=+++故线性相关，对于（C）若令()()()()()()112223331131122233223322330,lllllllllααααααααα+++++=−++++=则根据123,,ααα是线性无关的，故1312230,220,330.llllll⎧+=⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪⎪+=⎪⎩因上述齐次线性方程组的系数行列式101220120033A==≠，故方程组有唯一零解，即1230,lll===故1223312,23,3.αααααα+++线性无关。对于（D），由于12313501225−=−故方程组AXO=存在非零解，即向量组123123123,2322,355.ααααααααα++−++−线性相关。（4）非齐次线性方程组AXb=中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为,r则（A）rm=时，方程组AXb=有解.（B）rm=时，方程组AXb=有唯一解（C）mn=时，方程组AXb=由唯一解（D）rn时，方程组AXb=有无穷多解.答应选A分析由题意知，矩阵A为mn×矩阵，且()rAr=，若rm=，则A的m个行向量线性无关，增广矩阵()Ab的m个行向量也是线NBF辅导，真正为考研人着想的辅导!考研辅导，全程包过，不过退款!QQ客服：296312040性无关的，因为线性无关的向量组加长维数后仍线性无关。故()()rAbrAm⎡⎤==⎣⎦，所以方程组AXb=有解，方程组AXb=有唯一解的充要条件是mnr==，即A为可逆矩阵，此时，唯一解1XAb−=，可见（B）（C）均不对，对于（D），rn，能保证齐次方程AXO=的基础解系有nr−个未知常数，但不能保证()()rAbrA=，因而不能保证方程组AXb=有解，因此（D）也不对。（5）设X是一随机变量，2,EXDXμσ==（,0μσ常数）则对任意常数c，必有（A）()222,EXcEXc−=−（B）()()22,EXcEXμ−=−（C）()()22,EXcEXμ−−（D）()()22.EXcEXμ−≥−答应选D分析有简单推导即可得出结论()()22EXcEXcμμ−=−+−()()()()()()()222222EXEccEXEXcEXμμμμμμμ=−+−+−−=−+−≥−三、求极限()()2201limln10xaaaxaxx→⎡⎤⎛⎞⎟⎜⎢⎥−−+≠⎟⎜⎟⎜⎢⎥⎝⎠⎣⎦解原式()()2200ln1limlimln1xxaxaaaxxx→→⎛⎞+⎟⎜⎟=−++⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠()20ln1limxaxaxx→−+=NBF辅导，真正为考研人着想的辅导!考研辅导，全程包过，不过退款!QQ客服：296312040()02021lim2lim212xxaaaxxaxxaxa→→−+==+=四、设(),,ufxyz=有连续偏导数，()()yyxzzx==和分别由方程0xyey−=和0zexz−=所确定，求.dudx解duffdyfdzdxxydxzdx∂∂∂=++∂∂∂（*）由0xyey−=得20,;11xyxyxydydydyyeyeyxdxdxdxxexy⎛⎞⎟⎜+−===⎟⎜⎟⎜⎝⎠−−由0zexz−=得0,.zzdzdzdzzzezxdxdxdxexxzx−−===−−代入（*）式得21dufyfzfdxxxyyxzxz∂∂∂=++∂−∂−∂五、假设某种商品的需求量Q是单价p（单位：元）的函数：1200080;Qp=−商品的总成本C是需求量Q的函数：2500050CQ=+；每单位商品需要纳税2元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额。解以π表示销售利润额，则()()()120008022500050ppQπ=−−−[phone],pp=−+−'16016160pπ=−+令'0π=，得101p=NBF辅导，真正为考研人着想的辅导!考研辅导，全程包过，不过退款!QQ客服：296312040由于''1011600,pπ==−可见当101p=时，π有极大值，也是最大值（因101p=是唯一驻点）最大利润额101167080pπ==（元）六、求曲线22,0,1,3yxxyxx=−===所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V。解如图所示，所求面积12SSS=+,易见()22112Sxxdx=−∫22321112.33xx=−=()32222Sxxdx=−∫33232214.33xx=−=故所求图形的面积122.SSS=+=平面图形1S绕y轴旋转一周所得旋转体体积()021111116Vydyπππ−=++−=∫平面图形2S绕y轴旋转一周所得旋转体体积NBF辅导，真正为考研人着想的辅导!考研辅导，全程包过，不过退款!QQ客服：296312040()3220432711.6Vydyπππ=−++=∫故所求旋转体体积129.VVVπ=+=七、设函数()fx在(),−∞+∞内连续，且()()()02xFxxtftdt=−∫，试证：（1）若()fx为偶函数，则()Fx也是偶函数（2）若()fx单调不增，则()Fx单调不减。证明（1）因为()(),fxfx−=则有()()()02xFxxtftdt−−=−−∫令tu=−，于是()()()02xFxxufudu−=−−+−∫()()()()()0022xxxufuduxtftdtFx=−=−=∫∫即()Fx为偶函数。()()()'002xxFxxftdttftdt⎡⎤=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦∫∫()()()()()()()002,xxftdtxfxxfxftdtxfxxffxξ=+−=−⎡⎤=−⎣⎦∫∫其中0xξ介于与之间.（2）由已知()fx单调不增，则当0x时，()()0,ffxξ−≥故()'0;Fx≥当0x=时，显然()'00;F=当0x时，()()0,ffxξ−≤故()'0;Fx≥即(),x∈−∞+∞时，()'0;Fx≥NBF辅导，真正为考研人着想的辅导!考研辅导，全程包过，不过退款!QQ客服：296312040于是，若()fx单调不增，则()Fx单调不减.八、设D是以点()()()0,01,22,1OAB、和为顶点的三角形区域，求.Dxdxdy∫∫解直线,OAOBAB和的方程相应为2,3.2xyxyyx===−和过点A向x轴作垂线AP,它将D分成1D和2D两个区域，如下图，其中点P的横坐标为1，因此，有12.DDDxdxdyxdxdyxdxdy=+∫∫∫∫∫∫122301221222012312301333221313.2222xxxxxdxdyxdxdyxdxxxdxxxx−=+⎛⎞⎟⎜=+−⎟⎜⎟⎜⎝⎠⎡⎤⎢⎥=+−=⎢⎥⎣⎦∫∫∫∫∫∫九、设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵*,,TTIOAPQAAbααα⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎜⎜⎟==⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜−⎝⎠⎝⎠其中*A是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵。（1）计算并化简;PQ（2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是1.TAbαα−≠解（1）因**,AAAAAI==故NBF辅导，真正为考研人着想的辅导!考研辅导，全程包过，不过退款!QQ客服：296312040*TTIOAPQAAbααα⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎜⎜⎟=⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜−⎝⎠⎝⎠()**1TTTTAAAAAbAAOAbA