数字信号处理及应用-王华奎-部分答案

正弦序列的周期性若，则按周期序列的定义，该正弦序列为周期序列。0()sin()xnAnwf=+[][]0000()sin()sin2xnNANnANnNkk若，为整数，则wfwwfwp+=++=++=()()xnxnN=+要求周期满足需分三种情况讨论。02kNpw=02Nkpw=1、当为整数时，k＝1，正弦序列是周期序列，且N＝。02pw2、是一个有理数，设(P、Q互为素数)取k＝Q，那么N＝P,正弦序列是周期序列，且N＝P。3、是无理数，正弦序列不是周期序列。pw02pw02pw0202PQpw=习题课1.1第一章()axtˆ()axt()Gj1()aytT144()04Gj，，8s，已知，1()cos(2)axtt，2()cos(5)axtt问：有无失真？12()()aaytyt、解：根据采样定理：可知2sh1.5判断周期性1()ayt2()ayt无失真，将失真。3(2)()sin(),44xnAnA是常数；p=+解（2）是无理数，因此0032843PQ，ppww===非周期序列。()xn是系统的因果性根据因果性的定义：输出变化不会发生在输入变化之前的系统称为因果系统。即对于因果系统，若时，0nn1121()()xnxn1121()()ynyn则时，，由此推得0nnLSI系统因果稳定的充要条件()0(0)()nhnnhnM，1.6判断下列的因果性与稳定性。()hn(1)()n000(2)()00nnnn，或(3)(3)un(4)3()nun（2）当时，若，所以系统是因果的。00n0n0()()0hnnn解：（1）因为时，，所以系统是因果的。而所以系统是稳定的。0n()()0hnn()1nhn00n0n0()()0hnnn当时，若，，所以系统是非因果的。而所以系统是稳定的。()1nhn（4）当时，，所以系统是因果的。而0n()3()0nhnun（3）当时，，所以系统是非因果的。而0n()(3)0hnun3()11nhn所以系统是非稳定的。01()33nhn所以系统是非稳定的。1.7判断下列系统的:（a）线性；（b）时不变性；（c）因果；（d）稳定；(1)[()]()()Txngnxn()(3)[()]xnTxne（1）解：由得[()]()()Txngnxn12121212[()()]()[()()]()()()()()()TaxnbxngnaxnbxngnaxngnbxnaTxnbTxn所以系统是线性系统。由于即[()]()()()()()Txnmgnxnmynmgnmxnm，，[()]()Txnmynm，所以系统不是移不变的。（3）解：由得()[()]xnTxne12()()12[()()]axnbxnTaxnbxne12()()12[()][()]axnbxneeTaxnTbxn所以系统是非线性系统。22111222()[()][()]()[()][()]ynTxnxnynTxnxn，由因为()(),xnmTxnme()()xnmynme即()()Txnmynm所以系统是移不变的。（5）解：由得2[()]()Txnxn221212()()[()][()]aynbynaxnbxn而221212[()][()]2()()axnbxnabaxnxn21212[()()][()()]Taxnbxnaxnbxn1212[()()]()()Taxnbxnaynbyn所以系统是非线性系统。因为2[()]()()()Txnmxnmynmxnm2，所以系统是移不变的。1.12用定义求序列的傅立叶变换0(1)()()xnnn52223456(2)()jjnnjjjjjjjjXeeeeeeeeee+1+解：0(1)()()jnjjnnXexnee(2)()(2)(6)xnunun解：不明显求解，计算下列各量。解：2(2)(1)5()(1)(2)nnnnn()jXe0(1)()jXe2(2)()jXed00(1)()()()215116jjnnnXexnexn注意应用序列傅立叶变换的定义、性质及帕塞瓦尔定理。1.17已知序列（2）由帕塞瓦尔定理，令，则所以1.19解：对差分方程两边同时进行Z变换得所以，系统函数为221()()2jnXedxn22()2()64jnXedxn()()xnyn1()0.6()()YzzYzXz根据频率响应与系统函数的关系有1.21求以下序列的Z变换1()1()()10.6YzHzXzz1()()10.6jjjzeHeHze(1)2()(2)(1)(3)2()nnnunaunun解：分析中，的取值范围是的有值范围；而Z变换的收敛域是满足的值范围。（1）由Z变换的定义知()()nnXzxnz101()2()210.5nnnnnnXzunzzz()nnxnzMn()xnz其收敛域为，即。因此，极点为；零点为。（2）由Z变换的定义知10.51z0.5z0.5z0z()(1)nnnXzaunz11nnnnnnazaz1azaz其收敛域为，即。1az1za（3）由Z变换的公式11()1znaunaz由Z变换的时间反转性质1()()ZxnXz112()12nunz知知12()12nunz其收敛域为。12z1.27求序列的Z变换解：由题意知，（1）当时，,查P35表1.4.1知()01nxnaa，11()1Xzzaaz，（2）当时，由Z变换0n()()nxnaun0n()()nxnaun的时间反转性质得1()1Xzzaaz，1.32研究一个输入为和输出为的时域LSI系统，已知它满足并已知系统是稳定的，试求单位脉冲响应。分析：先根据差分方程求出系统函数，再利用部分分式法求其反变换，可得。解：对差分方程两边作Z变换得()xn()yn10(1)()(1)()3ynynynxn()hn110()()()()3zYzYzzYzXz则111()1()101()(3)()3311(13)(1)3YzzHzXzzzzzzz13z，213z()Hz119188()1(13)(1)3Hzzz所以极点为将展开成部分分式有可知单位脉冲响应为双边序列，所以133z911()3(1)(()883nnhnunun）()hn要使系统稳定，收敛域必须包含单位圆，则2.1求周期冲击串的DFS系数。()()rxnnrN210()()NjknNnXkxne解:根据DFS的公式可得221201()1jkNNNjknNjknNeXkee10krNrkrN，为整数第二章2.7求序列的N点DFT，其中，序列为01nN(1)()1xn00(3)()()0xnnnnN解：（1）根据DFT公式210()()01NjknNnXkxnekN22110022()()101NNjknjknNNnnjkNNjkNXkxneeee1(1)1naqsq所以等比级数求和公式（3）根据DFT公式02211000()()()NNjknjknNNnnnkNXkxnenneW2.1900001/2shTFTFffN分析：记录长度和频域分辨力的关系为，抽样定理，最少抽样点数满足：0002shTffNTFF解①求T000001/10.1100.1TFFTss因为，10Hz，所以即最小记录长度为。②求T因为所以采样间隔000.1100.2222500hTFTmsf③求最少抽样点数N00022250050010shTffNTFF而抽样点数必须为2的整数幂，所以取N=512点.002hTfTF3.1本题要求计算比较FFT的运算量。分析：（1）直接利用DFT计算：复乘次数为复加次数为（2）利用FFT计算：复乘次数为复加次数为解:（1）直接计算2N(1)NN2logNN2log2NN6211010102410.5Ts62210(1)2.10TNNs复加所需时间共需时间1212.15TTTs复乘所需时间（2）用FFT计算6121010log0.512NTNs复加所需时间复乘所需时间622210log0.20TNNs共需时间123.64TTTs4.2写出下列流图的系统函数和差分方程1Z0.5)(nx)(ny-0.751Z（1）0.25()xn1Z)(nyZ-1-0.3750.25（2）'()xn0.5)(nx)(ny-0.751Z1Z解：（1）由图知对上式两边同时进行Z变换得：1112()1()()(10.5)(10.75)110.250.375YzHzXzzzzz''()0.5(1)()xnxnxn'()()0.75(1)ynxnyn或直接利用两个基本二阶节级联得到传递函数222200，＝差分方程为()()0.25(1)0.25(1)0.375(2)ynxnxnynyn11210.25()10.250.375zHzzz0.25()xn1Z)(nyZ-1-0.3750.25（2）根据IIR滤波器的二阶结构知()()0.25(1)0.375(2)ynxnynyn4.3用直接I型及II型结构实现系统函数分析：①系统函数分母的项的系数应该简化为1。12123520.5()133zzHzzzz()Hz0z②分母的系数取负号，即为反馈链的系数。1,2izi，满足上述两项可把系统函数写成标准形式：解：因为12123520.5()1(33)zzHzzzz01()()()1MmmmNnnnbzYzHzXzaz与标准形式比较可得123012331520.5aaabbb，，，-，，-直接I型结构：典范型结构：)(ny)1(nx)(nxz1z1)2(nx05b12b20.5b13a23a)1(ny)2(nyz1z131a(3)ynz1)(nyz1z1b0b1b2)(nx1a2az13a4.6、用级联结构实现分析：用二阶基本节的级联来实现系统（某些节可能是一阶的）。解：参阅P131式3.2.6因为1121125111.4142()10.511.27280.81zzzHzzzz121212121121121()15111.414210.511.27280.81kkkkkzzHzAzzzzzzzz与标准形式比较可得结构一11211222112112225101.414210.501.27280.81A，＝，，，，，22A111Z1Z11121222nx)(nyZ-