第14章数分(1)期中和期终试题及解答

243第14章工科数学分析（1）考试模拟试题及解答工科数学分析（1）期中考试模拟试题一、叙述下面问题(任选两个问题回答,每小题5分,共10分).1)叙述数列是柯西列(基本列)的定义;2)叙述函数一致连续的定义;3)叙述闭区间套定理.二、证明题(10分)1)对*nN,成立111212nnnn;2)设1112,2nxnn(1,2,)n,证明}{nx收敛（可用单调有界定理）.三、计算题(20分)1)求111lim()1lnxxx;2)求2110lim21xxxxxe;3)设()sin0fxxxx,求此无穷小的阶;4）设bxexyaxsin)(，求nndxyd,*()nN,;5）设),51arctan()1ln(ln)(2xxxxyx求dxdy.四、叙述并证明关于函数极限与数列极限之间关系的海涅定理(10分).五、讨论下面问题(10分)设1,0(),0sin,01xxaexfxbxxxe,试问:1),ab为何值时,()fx在(,+)上连续;2)()fx在(,+)上是否可导.六、(共20分)2441）设函数()fx在),0[上连续，在),0(内可导，(0)0f，且()fx在),0(内单调增加,试证：函数xxfxg)()(在),0(内单调增加;2）设0x,证明：22ln(1)2xxx;3）判断函数()ln,(0)fxxxx的凹凸性；4）求函数()lnfxxx在(0,]e上的最大值和最小值.七、(10分).讨论函数xxf1cos在1,0内的一致连续性．八、证明下面问题(10分).1)设xf在ba,上连续，且lim0,lim0xaxbfxAfxB，证明:存在,ab,使得.0f2)设)(xf在闭区间],[ba上连续，在开区间),(ba内可导，且0)()(bfaf，求证：),(ba,使得0)()('ff.九、附加题(10分).1)设()fx在,a上连续,且有lim()xfxl,(l为有限数),证明:()fx在,a上一致连续;2)设(),()fxgx在,a上连续,且有lim(()())xfxAgxB,(,AB为有限数,0A),证明:()fx与()gx在,a上有相同的一致连续性.245工科数学分析（1）期中考试模拟试题解答一、1）答对于给定数列}{nx，若满足：对于任意给定的0，存在一个*NN，使当Nnm,时，都有nmxx，则称}{nx为柯西列.2）答设)(xf在区间I上有定义，若满足：对于任意给定的0，存在一个0，当1212,,xxIxx时，有)()(21xfxf，则称)(xf在I上一致连续.3）答设],[nnnbaI，并且nIII21，如果这一列区间的长度满足)(0nabInnn，那么交集nnI1含有唯一的一点.二、1）证明:由nnnn111，得nnnn211121;2）证明：由（1）知0)1(2111nnnxxnn，所以}{nx单调递减;再由nnnnnxn2)1(2)12(22121122)1(2nn,得}{nx有下界，由单调有界定理,知}{nx收敛.三、1）解111lim()1lnxxx1ln(1)lim(1)lnxxxxx111lim1(1)lnxxxxx1llim(1)lnxxxxx111lim11ln2xx；2）解设22)(1xxexu，xxxv1)(2,因为0lim()0xux，2460lim()()xuxvx2101lim22xxxxex210111lim221xxxxxexx，所以2110lim21xxxxxe1()()()2()00lim1()lim[1()]vxuxvxuxxxuxuxe；3）解330022()sinlimlim1xxfxxxxx，故为32阶的无穷小；4）解22sincossin()axaxaxyaebxbebxeabbx，(arctan)ba；)]cos()sin([22bxbebxaebayaxax)2sin(2222bxbaebaax，于是)sin()(222)(nbxebayaxnn，)arctan(ab；5）解)1(ln)'(xxxxx，xxxxxxln1)1(1ln1))'1(ln(ln2，22210[arctan(15)]1(15)xxx，于是22110()(ln1)ln1(15)xxyxxxxxx.四、海涅定理：函数f在点0x处有极限A的必要充分条件是：对于任何一个收敛于0x的数列},3,2,1:{0nxxn，数列)}({nxf都有极限A。证明必要性设Axfxx)(lim0，对0，0，当||00xx时，便有|)(|Axf；对于已取定的0，由0limxxnn，*NN，当Nn时，便有||00xxn；这样一来，当Nn时，我们有|)(|Axfn，247这正是Axfnn)(lim；充分性用反证法假设Axfxx)(lim0不成立，那么，00，对于每一个正整数n，一定有一点nx，满足nxxn1||00，且使得0|)(|Axfn;这就是说，我们已经找到了一个数列},3,2,1:{0nxxn，虽然0limxxnn，但是Axfnn)(lim，这与条件矛盾；所以假设不成立；这样便完成了定理的证明.五：解1）显然()fx在0x处连续，再由100lim()lim()xxxfxaea，000sincoslim()limlim11xxxxxxxfxee，知当1ba时,()fx在0x处连续;从而()fx在(,+)上连续;2）显然()fx在0x处可导;110001()(0)11limlimlim00xxxxxfxfexxxe,00sin1()(0)1limlim0xxxxfxfexx00sin1coslimlim(1)(1)xxxxxxxxexexeexe0sin1lim22xxxxxeexe,所以()fx在0x处不可导，于是()fx在(,+)不可导.六、1)证明2()()()()()fxfxxfxgxxx，对()fx使用微分中值定理，得()()(0)(),(0,)fxfxffxx，由()fx(0,)内单调增加，248知()()()()(()())0fxxfxfxxfxfxf，所以()0gx，即函数xxfxg)()(在),0(内单调增加.2)证明令22()[ln(1)]2fxxxx，显然0)0(f，222()22011xfxxxx，所以0)0()(fxf，即xxx2)1ln(22;3)解()ln1fxx，1(),fxx当0x时,有01)(''xxf，所以)(xf是凸函数.4)解()ln1fxx,令()ln10fxx,得1xe,当1(0,)xe时,()0fx;()fx在1(0,]e上严格递减,且()0fx;当1(,]xee时,()0fx;()fx在1[,]ee上严格递增;11(),()ffeeee,故()lnfxxx在(0,]e上的最大值为e,最小值为1e.七、解对01，取,21,221ntnsnn尽管nnnntsnn2121)22(22,但01)()(nntfsf，所以xxf1cos在1,0上不一致连续．八、1)证明由,0limAxfax知存在一个01,使得),(1baa，且0)(1af;由lim0xbfxB，知存在一个02,使得),(2bab，且0)(2bf，则fx在区间],[21ba上两端点异号，由连续函数介值定理,知存在b,a,使得0f.1）证明令)()(xfexFx,则0)()(bFaF,249所以()Fx)在],[ba满足罗尔中值定理的条件，于是存在(,)ab，使得0)(')()('fefeF，因为0e，所以0)()('ff.九、附加题.1)证明设lxfx)(lim.则对0，0A，当AyAy21,时，便有2|)(|1lyf，2|)(|2lyf，从而有|)()(|21yfyf;对上面已定的0A（充分大），由于函数f在区间]1,[Aa上连续，利用Cantor定理，得f在]1,[Aa上一致连续.对上述0，01，当]1,[,21Aayy,且121||yy时，便有|)()(|21yfyf，取)1,min(1,对任何),[,21axx,且||21xx时，必有（1）AxAx21,，或（2）21,xx中有一个属于],[Aa，不仿设Axa1,此时必有12Ax，无论那种情况，都成立|)()(|21xfxf，故()fx在),[a上一致连续.2)证明设()()()FxfxAgx,由题设条件,利用1)的结果,得()Fx在),[a上一致连续;若()gx在),[a上一致连续,则得()()()fxFxAgx在),[a上一致连续;若()fx在),[a上一致连续,则有1()[()()]gxfxFxA在),[a上一致连续;故结论得证.250工科数学分析（1）期末考试模拟试题一、问答题（每小题4分，共20分）1）叙述带有Peano余项的Taylor定理;2）叙述带有Lagrange余项的Taylor定理;3）叙述利用达布上和和下和的函数可积的两个等价定理;4）叙述定积分的定义;5）叙述刻画函数可积性的Lebesgue定理.二、计算下面问题（每小题5分，共20分）1)求220ln(1)sinlim1cosxxxxx,（利用带有Peano余项的Maclaurin公式）;2211111112222()()!xxxox提示：;2)求sin0tan00tanlimsinxxxxdxxdx;3)利用定积分方法，求12(1)limsinsinsinnnnnnn;4)求ln1fxx在x=3处的泰勒展开.三、证明下列问题（两个题目中任选其一）（10分）1、设函数fx在(,)R上具有二阶导数，记supkkxRMfx,0,1,2k;1)求fxh在x处的泰勒展开；2)求fxh在x处的泰勒展开；3)证明：对0,,hxR成立02()2MhfxMh；4)证明：21022MMM.2、设函数fx在(,)R上具有三阶导数，记supkkxRMfx,0,1,2,3k;若,fxfx在(,)R上有界，证明:,fxfx在(,)R上也有界.提示:利用带有Lagrange余项的Taylor定理证明.251四、求或证明下列积分（每题5分，共20分）1）2ln(1)(2)xdxx;2）223sin8sincos5cosdxxxxx;3）311