结构力学之能量原理

结构力学第12章能量原理主要内容1杆件的应变能及应变余能计算2结构势能定义及势能原理3结构余能定义及余能原理能量的概念大家早已了解，在第六章分析静定结构的位移计算中，曾介绍了虚功方程的两种应用：虚设单位力求位移和虚设单位位移求未知力。在本章中将介绍基于能量原理基础上的解题方法。§12.1杆件的应变能及应变余能计算1应变能密度和应变余能密度应变能密度定义:单位体积内的应变能称为应变能密度1.1应变能密度例如简单拉伸杆件，取出dx微段，其拉伸曲线如图(a)所示图(a)简单拉伸曲线FNdx应变能U为dFWUN（12-1）dOBA图(b)应力应变曲线Cd根据应变能密度的定义，则应变能密度为ddFdxAVUuNN1（12-2）即应力应变曲线中OAB所围的面积。dOBA图(b)应力应变曲线C1.2应变余能密度应变余能密度定义:单位体积内的应变余能称为应变余能密度。仍以简单拉伸杆件为例，应变余能为NdFWU**（12-3）根据应变余能密度的定义，则应变余能密度u*N为即应力应变曲线中OAC所围的面积。ddFdxAVUuNN1**（12-4）图(a)简单拉伸曲线FNdxdFN对于线弹性材料，=E.有，则*2202121NNuEEdu（12-5）2杆件的应变能和应变余能象纯拉伸一样，当杆件处于纯剪切和纯弯曲时，其应变能密度分别为;0duQ0duM定义：单位杆长上的应变能为杆件的应变能密度，用u1表示。则当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应变能密度为AdAdAdAdu00010001dMdFdFuQN即（12-6）对于线弹性材料，有FN=EA.，FQ=GA./k（k为截面形状系数），M=EI.。则2221212121EIkGAEAu（12-7）显然有MEAuFkGAuFEAuQN111（12-8）设：杆截面形心的轴向位移为u，横向位移为v，截面的转角为。则几何方程为dxddxdvdxdu（12-9）将上式代入（12-7）式得2221212121dxdEIdxdvkGAdxduEAu（12-10）一根杆的应变能为dxdxdEIdxdvkGAdxduEAdxuU222121（12-11）当忽略较小的剪切变形后,,0,dxdv则dxdxvdEIdxduEAdxuU2222121（12-12）定义：单位杆长上的应变余能为杆件的应变余能密度，用u*1表示。当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应变余能密度为MFQFNdMdFdFuQN000*1（12-13）对于线弹性材料，用类似的方法，可以得222*121221MEIFGAkFEAuQN（12-14）一根杆的应变余能为dxMEIFGAkFEAdxuUQN222*1*1121（12-15）上式中，U为杆件结构的应变能，对于刚架而言，通常仅考虑弯曲应变能，则§12.2势能原理1势能的定义杆件结构的势能Ep定义为*ppEUE（12-16）edxdxvdEIU22221（12-17）上式中e为结构中杆件的排序号。E*p为结构的荷载势能，通常以结构未变形前的荷载位置为起始位置，则pppFE*（12-18）上式中p为荷载的序号，为Fp方向上的位移。2势能驻值原理势能驻值原理：在所有几何可能的位移状态中，真实的位移应使结构势能为驻值。这一能量原理说明，如果位移满足全部的变形协调条件，而且还能使势能为驻值，则与此位移相应的内力必然满足全部的静力平衡条件。即说明势能驻值条件与平衡条件是等价的。可以证明，在小变形、线弹性的稳定平衡问题中，满足几何方程、物理方程和静力平衡方程的解是唯一的。此时真实的位移不仅使势能取得极值，而且该极值为极小值。这就是最小势能原理。3势能驻值原理应用3.1利用势能驻值原理推导位移法典型方程设：位移法的基本未知量向量为{Z}={Z1Z2……Zn}T在位移法基本结构中，各杆任一截面的位移方程可表示为pniiivZvv1上式中，为基本结构由于Zi=1时引起的各杆任一截面的位移方程。vp为基本结构在荷载作用下任一截面的位移方程。iv与广义荷载Fp相应的广义位移也可表示为pniiiZ1pniiiZ1上式中，为基本结构由于Zi=1时引起的与广义荷载相应的广义位移。△p为基本结构在荷载作用下引起的与广义荷载相应的广义位移。i则结构的势能为ppniiipepniiipZFdxvZvEIE12121根据势能驻值条件得)2,1(0niZEip01pipeipnjjjFdxvvZvEI即01pipepijnjejiFdxvvEIZdxvvEI或因为，为Zi=1时的基本结构的内力（弯矩），为Zj=1时的基本结构变形（曲率）。则为基本结构Zi=1时的内力（弯矩）在Zj=1时的变形（曲率）上所做的内力虚功（虚应变能）。而当Zi=1时基本结构的外力（r1i、r2i……rni）在Zj=1时的位移上所做的外力虚功为Wij=rij1=rij。iiMvEIjjvijejiUdxvvEI根据虚功方程Uij=Wij得ejiijdxvvEIr01pipepijnjejiFdxvvEIZdxvvEI或又因为为单独在荷载作用下的基本结构的变形（曲率）。ppvpiepiepiUdxMdxvvEI代表了当Zi=1时基本结构的内力（弯矩）在单独在荷载作用下基本结构的变形（曲率）上所做的内力虚功。而当Zi=1时基本结构的外力（r1i、r2i……rni）在单独在荷载作用下基本结构的变形上所做的外力虚功为0。所以根据虚功方程得0pipiepiepiWUdxMdxvvEI当Zi=1时的基本结构外力，在基本结构单独在荷载作用下的变形上所做得的虚功为0，而在基本结构单独在荷载作用下的外力在Zi=1时的基本结构的变形上所做的虚功为01pipepijnjejiFdxvvEIZdxvvEI或pipipFR1根据功的互等定理有0pipipFRpipipFR即由上述讨论可得01ipnjjijRZr这就是杆系结构的位移法典型方程。多提意见与建议谢谢！作业：建立在能量原理基础之上的解题方法是一种精确方法，但在精确解难以求得或不能求得的许多工程实际问题中，能量原理又能为我们提供一种求近似解的有效途径。瑞利—里兹法就是其中之一。在介绍瑞利—里兹法之前，先介绍两个基本概念：3.2瑞利—里兹法(Rayleigh-RitzMethod)静力可能内力对于变形体而言，如果它的内力与外力满足全部的静力平衡条件，即满足杆件的平衡微分方程，而且在边界上和结点处满足力的平衡条件，则此种内力称为静力可能内力。对于静定结构而言，静力可能的内力是唯一的，而对于超静定结构而言，静力可能的内力不是唯一的。几何可能位移如果变形体的应变、、与位移u、v、满足几何方程，而且在结点处满足位移连接条件，在边界上能与约束几何相容。则此种位移称为几何可能位移。在变形体上，这种几何可能位移有无穷组，但只有同时能满足静力平衡条件的那一组才是真实的解答。结构的总势能是一个泛函，对于稳定的平衡问题而言，按位移法求解时，就归结为求泛函的极值问题。瑞利—里兹法就是建立在泛函求极值基础之上的一种求近似解的方法。下面举例说明。例1用瑞利—里兹法求图示简支梁的挠度和弯矩。Fpl/2l/2xy该题材料力学已有精确解，在梁中点挠度EIlFEIlFvpp33max02083.048Fpl/2l/2xy中点弯矩lFlFMpp25.04max解：设该简支梁的挠曲线（几何可能位移）为5,3,1sinlxiavi这个函数不仅满足简支梁的两端的位移边界条件，而且满足两端力的边界条件：;0)()0(lvv0)()0(lvv(1)仅取级数的首项，则lxavsin12134022222024sin22alEIdxlxlEIadxvEIUll∵12*aFvFEplxpp12134*4aFalEIEUEppp∴由势能驻值条件得01aEp02134pFalEIEIlFap4312即lxEIlFlxEIlFvppsin02053.0sin2343则EIlFvp3max02053.0，比精确解少1.44%，lFMp2026.0max，比精确解少19%。(2)仅取级数的前两项，则lxalxav3sinsin31上式中没有取项，是因为在Fp的作用下，内力和变形都是对称的，而此项在中点处v=0，变形是反对称的。lxa2sin2lldxlxllxalEIadxvEIU022221222023sin3sin22)2,1(2sin02ildxlxil∵)(0sinsin0jidxlxjlxil232134028142aalEIdxvEIUl∴312*aaFvFEplxpp由势能驻值条件得3,10iaEip028102334134ppFalEIFalEI解之得,2431EIlFapEIlFap433812lxlxEIlFvp3sinsin8181243则lxlxlFvEIxMp3sinsin992)(2EIlFvp3max02078.0，比精确解少0.24%lFMp225.0max，比精确解少10%误差仍较大，但位移和弯矩的精度均有所提高，随着级数项数增加，位移和弯矩都将趋于精确解。§12.3余能原理1余能的定义：杆件结构的余能EC定义为**CCEUE（12-19）上式中，U*为杆件结构的应变余能，对于线弹性材料而言，杆件结构的应变余能为eQNdxEIMGAFkEAFU222*21（12-20）E*C为结构的支座位移余能，或称给定边界位移余能，即在支座位移c上相应支座反力R所做的虚功总和的负值。cCcRE*（12-21）2余能驻值原理超静定杆件结构的余能驻值原理可表述如下：在所有静力可能内力中，真实的内力应使结构的余能为驻值。该原理说明，如果内力满足全部的静力平衡条件，而且还能使结构的余能为驻值，则与此内力相应的变形必然满足变形协调条件，即余能驻值条件与变形协调条件是等价的。可以证明：超静定结构中，在同时满足静力平衡方程、几何方程和物理方程的解具有唯一性的情况下，结构的真实内力不仅使余能为驻值，而且该驻值一定为极小值。这就是最小余能原理。3余能驻值原理应用3.1利用余能驻值原理推导力法典型方程设力法基本未知量向量为{X}={X1X2……Xn}T，在力法基本结构中，各杆任一截面的内力可表示为支座反力可表示为pniiiRXRR1(b)