参数估计及其在实际生活中的应用论文

分类号：O1-647西安文理学院学士学位论文参数估计及其在实际中的运用系院名称数学与计算机工程学院指导老师学生姓名学生学号02101090108专业、班级数学与应用数学09级1班提交时间2013年5月西安文理学院数学与计算机工程学院2目录0引言························································31参数估计····················································42参数估计的常用方法··········································42.1矩估计法····················································52.2极大似然法··················································62.3最小二乘法··················································82.4派生估计法··················································92.5区间估计法··················································113.1矩估计法在实际中的应用······································133.2极大似然法在实际中的应用····································143.3区间估计法在实际中的应用····································18结束语··························································22参考文献························································23致谢····························································253参数估计及其在实际生活中的应用魏壬甲（西安文理学院数学与计算机工程学院,西安,710065）摘要:参数估计是统计理论的一种基本形式，是数理统计学的一种重要分支，其中最常见的估计方法是点估计和区间估计。本文将对矩估计，极大似然估计，区间估计法等三种参数估计方法进行推广分析。对它们的范围进行比较讨论，最后我们对其各自的重要性及其在实际中的应用作一介绍。关键词：参数估计；矩估计；极大似然估计；区间估计Parameterestimationanditsapplicationinreallife.(SchoolofMathematicalandComputerEngineering,Xi’anUniversityofArtsandScience,Xi’an,710065,China)Abstract:：theparameterestimationisabasicformofstatisticaltheory,isanimportantbranchofmathematicalstatistics,estimationmethodwhichisthemostcommonpointestimationandintervalestimation.Themomentestimate,maximumlikelihoodestimation,intervalestimationmethodofthreekindsofparameterestimationmethodsaregeneralizedanalysis.Comparisonontheirscope,wefinallyontherespectiveimportanceanditsapplicationinpracticeareintroducedKeywords：Parameterestimation;momentestimation;maximumlikelihoodestimation;intervalestimation;40引言随着数理统计的应用更加广泛,参数估计在医疗，交通，市场消费,甚至是自然灾害的预测等实际生活中都有着举足轻重的作用，它科学且精确地让我们预测一个参数的值，以达到避免灾害或是获取利益等作用。参数估计已不知不觉渗透到生活的各个方面，它对人们的生活带来的很大的方便。但是对于参数估计方法，好多人却不是很了解，所以，为了人们能更好的利用参数估计为生产生活服务，本文将在论文中对参数估计的具体方法做一个较为系统细致的讲解。参数估计方法在人们生活中的应用，便于人们能更了解参数估计，接触参数估计，很好把它应用到生活之中。这样，就会避免不必要的盲目性，对事物的发展有个相对明确的判断和把握，为生活带来方便和效益。1参数估计参数估计（parameterestimation）是根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数的方法。人们常常需要根据手中的数据，分析或推断数据反映的本质规律。即根据样本数据选择统计量去推断总体的分布或数字特征等。统计推断是数理统计研究的核心问题。所谓统计推断是指根据样本对总体分布或分布的数字特征等作出合理的推断。它是统计推断的一种基本形式，它是数理统计学中的一个重要分支，分为点估计和区间估计两部分。也就是当在已知系统模型结构时，用系统的输入和输出数据计算系统模型参数的过程。18世纪末德国数学家C.F.高斯首先提出参数估计的方法，20世纪60年代，随着电子计算机的普及，参数估计有了飞速的发展。这里的参数是指如下参数.如：二点分布b（1,p）中的概率p，正态分布N（,）中的和。分布中所含的未知参数的函数。如：服从正态分布的2,N的变量X不超过某给定值a的概率()()aPXa是未知参数,的函数；分布的各种特征数也都是未知参数。如：均值()EX，方差()VarX分布位数等。一般情况下，常用表示参数，参数所有可能取值组成的集合称为称为参数空间，用表示。2参数估计的常用方法定义2.1设1,,nxx是来自总体的一个样本，用来估计未知参数的统计量1,,nxx称为的估计量，或称为的点估计，简称估计。点估计分为矩估计和极大似然估计。5点估计的优越性：无偏性——体现了一种频率思想，只有在大量重复使用时，无偏性才有意义。任意有E(ˆ)=,则称ˆ是的无偏估计量或无偏估计。几个常用的无偏估计量，要记住：无论服从什么分分布，2S是样本方差，只要()Ea及D()=2是有限的，则11niin，2*2211()11niinSSnn（2-1）分别为a及2的无偏估计量。推导方法如下：222()()()(),()ESDDDDn其中则2*2221111()(())()111nniiiinESEEnnn2211()()11niinEEnn2211[()()]1niinEEnn22[()()]1nEEn[()()]1nDDn22()1nnn2有效性——意义是：用ˆ估计时，除无系统偏差外，还要求估计精度更高。若有的两个无偏估计1112ˆˆ(,,,)nXXX与2212ˆˆ(,,,)nXXX，如果var(1ˆ)=var(2ˆ)，则称1ˆ比2ˆ有效。相合性——和样本的容量有关，是在极限的意义下引进的，适用于大样本情形，当样本容量n越大时，总体的信息量增加，该估计也越精确越可靠，特别是6当样本容量趋于无穷大时，估计值将与参数真值几乎完全一致。相合性能在兼顾无偏性和离散性（方差的大小）两者的情况下建立“最优估计量”。点估计的优点是能较准确地给出未知参数大致值，缺点是不能反映出未知参数估计值的可信程度。参数点估计常用的三种方法是：矩法、极大似然方法和最小二乘法。2.1矩估计矩估计是基于一种简单的替换思想建立起来的一种估计方法。它是由英国的皮尔逊于1900年提出来的。基本思想：总体X分布函数的未知参数为12(,,,),Tm如果总体的k阶原点矩12()(,,,),1,2,,kkmEXkm存在，我们设总体的k阶原点矩与它的样本的k阶原点矩相等11,1,2,,nkkiiAXkmn即1211(,,,)(),1,2,,nkkkmikiEXXAkmn从上面式子可得到关于未知量的解12ˆˆ(,,,),1,2,,inXXXim，取12ˆˆˆˆ(,,,)Tm作为12(,,,)Tm的估计，就称ˆ为的矩估计。步骤：其主要有两个式子：（设总体的均值为，方差为2，12,,,nXXX是来自总体X的一个样本）：可得总体X的一阶，二阶原点矩为122222=E(X)=,()()[()],EXDXEX（*）而样本的一阶，二阶原点矩为2121111,nniiiiAXXAXnn由此可得到22211,niiXXn，7所以ˆX，其中由于上面无偏性有提到方差并不等于样本方差2S，而是221ˆnSn，矩估计为211()1niiXXn。注其优点是：简单易行，意义明确，不需要知道事先知道总体是什么分布。其缺点是：当总体类型已知时，不能充分利用分布提供的信息，而且其不具有唯一性。针对当矩估计不唯一时，我们可以根据下面的两个基本原则来选择是否用矩估计：a、涉及到矩的阶数尽量小，对总体X的要求也尽量少,比较常用到的矩估计的阶数一般是一、二阶数；b、用的估计最好是最小充分统计量的函数，因为在各种统计问题中充分性原则都应是适合的。由于矩估计是基于经验分布函数，而经验分布函数逼近真实分布函数的前提条件是样本容量较大，所以理论上，矩估计是以大样本为应用对象的，所以尽量在大样本下使用矩估计。2.2最大似然估计最大似然法是德国数学家高斯于1922年提出来的，并因为费希尔证明了它的一些性质而得到广泛应用。它是在总体类型已知的情况下使用的一种参数估计方法，其基本思想是概率最大事情最可能发生。其具体是：定义2.2.1设总体的概率函数为(;)Px，，其中是一个未知参数或几个未知参数组成的参数向量，是参数空间，1,,nxx是来自该总体的一个样本，将样本的联合概率函数看成的函数，用1(;,,)nLxx表示，简记为()L，1122()(;,,)(;)(;)(;)nLLxxpxpxpx()L称为样本的似然函数，如果某统计量1,,nxx满足()max()LL则称是的最大似然估计，简称为ＭＬＥ一般步骤：设1,,nXX为总体X的一个样本，1,,nxx为样本值。8若总体X为连续性，概率密度为(;)fx，引入似然函数1()(;)niiLfx，1,2,,ik求使最大，通常对()L先取对数，ln()ln(,)niiLfx再求导，令其为结果为0。ln0iL求出()L的极大值点1,2,()k，即为的极大似然估计若总体X为离散型，则()L中的(;)ifx以｛iiXx｝代替。注优点：相合性与渐进有效性、渐进正态性等。可以计算一些比较复杂的点估计。缺点：极大似然法一定要知道总体分布形式，并且一般情况下，似然方程组的求解比较复杂，一般需要在计算机上通过跌代运算方能计算出其近似解，且并不是通过求导数都获得极大似然估计值的。总结：对那些常见的函数能进行点估计1、2(,)N正态分布对应的点估计（可用矩估计、极大似然估计）ˆX，2211ˆ()nii