小学奥数几何之蝴蝶定理

几何之蝴蝶定理一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。S1:S2=a:b定理2：等分点结论(鸟头定理)如图，三角形△AED的面积占三角形△ABC的面积的2034153定理3：任意四边形中的比例关系(蝴蝶定理)1）S1∶S2=S4∶S3或S1×S3=S2×S4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO∶OC=（S1＋S2）∶（S4＋S3）梯形中的比例关系(梯形蝴蝶定理)1）S1∶S3=a2∶b2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S1∶S3∶S2∶S4=a2∶b2∶ab∶ab4）S的对应份数为（a+b）2定理4：相似三角形性质CFEADBCBEFDA1）HhCcBbAa2）S1∶S2=a2∶A2定理5：燕尾定理S△ABG∶S△AGC=S△BGE∶S△GEC=BE∶ECS△BGA∶S△BGC=S△AGF∶S△GFC=AF∶FCS△AGC∶S△BCG=S△ADG∶S△DGB=AD∶DB二、例题例1、如图，ADDB，AEEFFC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC的面积为1，如图，且12ADAB，13BEBC，14CFCA，求三角形DEF的面积.例3、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积.例4、例1如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？例7、（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？例8、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。259ODCBA例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图）所示。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的13，且2AO，3DO，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。DAOCB例10、左下图所示的ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm2，求CF的长。例11、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，依以下条件求三角形BDF的面积。例14、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？例15、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且ADG的面积比EFG的面积大6平方厘米。?的面积是多少平方厘米ABCABCDEFG三、练习题1、如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？2、如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4cm2，△CED的面积是6cm2。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？3、如右图BE=31BC，CD=41AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______.DECBA5、如图所示，已知ABCD是长方形，AE:ED=CF:FD=1:2，三角形DEF的面积是16平方厘米，求三角形ABE的面积是多少平方厘米？6、如右图，ABCD是梯形，ABED是平行四边形，己知三角面积如下图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米。7、正方形ABFD的面积为100平方厘米，直角三角形ABC的面积，比直角三角形（CDE的面积大30平方厘米，求DE的长是多少？8、已知ABC中，12ABACcm，ABC的面积是422cm，P是BC上任意一点，P到AB,AC的距离是,xy，那么xy；9、如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。2168EDCBA