96反证法课件

§1.3.反证法一.复习1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：综合法:分已知条件⇒⇒⇒结论结析法:论已知条件由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法提供思路，再由综合法写过程思考？A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？假设C没有撒谎,则C真;由A假,知B真.那么假设“C没有撒谎”不成立;则C必定是在撒谎.那么A假且B假;这与B假矛盾.推出矛盾.推翻假设.原命题成立.分析:由假设反证法：(命题的否定)假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。反证法的思维方法：正难则反反证法：①假设原命题不成立，②经过正确的推理,得出矛盾，③因此说明假设错误,④从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法反证法的基本步骤：四步得出矛盾的方法：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。应用反证法的情形：(1)直接证明比较困难;(2)直接证明需分成很多类,而对立命题分类较少;（3)结论有“至少”,“至多”,“有无穷多个”之类字样（4）结论为“唯一”之类的命题；例1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.假设这个数是奇数,可以设为2k+1,.Zk证:144)12(22kkk则有而）（Zkkk1442不是偶数这与原命题条件矛盾..例1.已知a,b,c为正数，求证:111a+,b+,c+中至少有一个不小于2bca例2求证：是无理数。2证：假设2是有理数，m则存在互质的整数m，n使得2=，n∴m=2n22∴m=2n2∴m是偶数，从而m必是偶数，故设m=2k（k∈N）2222从而有4k=2n，即n=2k2∴n也是偶数，这与m，n互质矛盾！所以假设不成立，2是有理数成立。例3、已知a1+a2+a3+a4100,求证：a1,a2,a3,a4中至少有一个数大于25。中的三项。不可能是一个等差数列，、求证：例5,214例5、如图，直线a平行于平面α，β是过直线a的平面，平面α与β相交于直线b，求证：直线a平行直线b。2222:若a,b,c均为实数,且a=x-2y+,2b=y-2z+,c=z-2x+,36求证:a,b,c中至少有一个大于0.练习2.设a,b是异面直线，在a上任取两点A,C，在b上任取两点B,D，试证：AB和CD也是异面直线.ADBCab归纳总结：1.哪些命题适宜用反证法加以证明？•笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；•具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或含有“至多”、“至少”等不确定词，此外，“存在性”、“唯一性”问题.