小学奥数常规几何模型

小学奥数中的几何模型——等积，鸟头，蝶形，相似，共边知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::SSab③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCDSS△△；反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():()ABCADESSABACADAE△△EDCBAEDCBA图⑴图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::SSSS或者1324SSSS②1243::AOOCSSSS蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方baS2S1DCBAS4S3S2S1ODCBAABCDObaS3S2S1S4面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::SSab②221324::::::SSSSababab；③S的对应份数为2ab．四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型GFEABCDABCDEFG①ADAEDEAFABACBCAG；②22:ADEABCSSAFAG△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么::ABOACOSSBDDC．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题OFEDCBA【例1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE1.5，CF2．长方形EFGH的面积为．【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【例2】长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HGFEDCBA．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．PDCBAABCD(P)PDCBA【例3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，8AB，15AD，四边形EFGO的面积为．_H_G_F_E_D_C_B_A_A_B_C_D_E_F_G_H_A_B_G_C_E_F_D_A_B_G_C_E_F_DOGFEDCBA【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，2AEED，则阴影部分的面积为．OABCDENMOABCDE【例4】已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)丙乙甲HNMJIFEDCBA【例5】如图，已知5CD，7DE，15EF，6FG，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是．GFEDCBAABCDEFG【例6】如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点，且:2:5ADAB，:4:7AEAC，16ADES△平方厘米，求ABC△的面积．EDCBAEDCBA【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？EDCBAABCDE【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BDDC，3BE，6AE，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲EDCBAABCDE甲乙【例7】如图在ABC△中，D在BA的延长线上，E在AC上，且:5:2ABAD，:3:2AEEC，12ADES△平方厘米，求ABC△的面积．EDCBAEDCBA【例8】如图，平行四边形ABCD，BEAB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．HGABCDEFHGABCDEF【例9】如图所示的四边形的面积等于多少？ODCBA1313121213131212【例10】如图所示，ABC中，90ABC，3AB，5BC，以AC为一边向ABC外作正方形ACDE，中心为O，求OBC的面积．53OABCDEF53OABCDE【例11】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，90AEB，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积．ABCDOEFABCDOE【例12】如下图，六边形ABCDEF中，ABED，AFCD，BCEF，且有AB平行于ED，AF平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知24FD厘米，18BD厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【例13】如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且:1:2BDDC，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．FEDCBA33321FEDCBAABCDEFFEDCBA【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，2ECDE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?xyyxABCDEFGGFEDCBA33GFEDCBA213【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的13，且2AO，3DO，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．ABCDOHGABCDO【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AGGC？ABCDG321【例15】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，CEF△、OEF△、ODF△、BOE△的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF△的面积；⑵求GCE△的面积．OGFEDCBA【例16】如图，长方形ABCD中，:2:3BEEC，:1:2DFFC，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．ABCDEFGABCDEFG【例17】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．GMDCBA【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．ABCDEF【例18】已知ABCD是平行四边形，:3:2BCCE，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．OEABCDOEABCD【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．21ABCDE9421ABCDEO94【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．1682ABCDEO1682ABCDE【例19】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．?852OABCDEF?852OABCDEF【例20】如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．已知正方形DEFG的面积48，:1:3AKKB，则BKD的面积是多少？KGFEDCBAMKGFEDCBA【例21】下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()mn的值等于．ABCDEFGHHGFEDCBA【例22】如图，ABC△中，DE，FG，BC互相平行，ADDFFB，则::ADEDEGFFGCBSSS△四边形四边形．EGFADCB【巩固】如图，DE平行BC，且2AD，5AB，4AE，求AC的长．AEDCB【巩固】如图，ABC△中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，ADDFFMMPPB，则::::ADEDEGFFGNMMNQPPQCBSSSSS△四边形四边形四边形四边形．【例23】如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且:1:3DEEC，AF与BE相交于点G，求ABGS△GFAEDCBMGFAEDCBGFAEDCB【例24】如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点，BF交EC于M，求BMG的面积．QEGNMFPADCBMHGFEDCBAIABCDEFGHM【例25】如图，ABCD为正方形，1cmAMNBDEFC且2cmMN，请问四边形PQRS的面积为多少？SRBCDAEQNMFPSRBCDAEQNMFP【例26】如右图，三角形ABC中，:4:9BDDC，:4:3CEEA，求:AFFB．OFEDCBA【巩固】如右图，三角形ABC中，:3:4BDDC，:5:6AECE，求:AFFB.OFEDCBA【巩固】如右图，三角形ABC中，:2:3BDDC，:5:4EACE，求:AFFB.OFEDCBA【例27】如右图，三角形ABC中，:::3:2AFFBBDDCCEAE，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．IHGFEDCBAIHGFEDCBA【巩固】如右图，三角形ABC中，:::3:2AFFBBDDCCEAE，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积．IHGFEDCBAIHGFEDCBA【巩固】如图，ABC中2BDDA，2CEEB，2AFFC，那么ABC的面积是阴影三角形面积的倍．ABCDEFGHIIHGFEDCBA【巩固】如图在ABC△中，12DCEAFBDBECFA,求GHIABC△的面积△的面积的值．IHGFEDCBAIHGFEDCBA【例28】如图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC，CFFGGA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFEDCBANMQPGFEDCBA【巩固】如图，ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少？KJIHABCDEFGKJIHABCDEFG【例29】右图，ABC△中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知ABM△的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则ABC△的面积是多少