初二数学动点问题

1动点问题训练姓名________所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。当t=时，四边形是平行四边形；6当t=时，四边形是等腰梯形.82、如图，已知ABC△中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中点．(1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？AQCDBP2解：（1）①∵1t秒，∴313BPCQ厘米，∵10AB厘米，点D为AB的中点，∴5BD厘米．又∵8PCBCBPBC，厘米，∴835PC厘米，∴PCBD．又∵ABAC，∴BC，∴BPDCQP△≌△．②∵PQvv，∴BPCQ，又∵BPDCQP△≌△，BC，则45BPPCCQBD，，∴点P，点Q运动的时间433BPt秒，∴515443QCQvt厘米/秒。（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1532104xx，解得803x秒．∴点P共运动了803803厘米．∵8022824，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．3、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF△≌△，所以AEEF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADFCGEB图13解：（1）正确．证明：在AB上取一点M，使AMEC，连接ME．BMBE．45BME°，135AME°．CF是外角平分线，45DCF°，135ECF°．AMEECF．90AEBBAE°，90AEBCEF°，BAECEF．AMEBCF△≌△（ASA）．AEEF．（2）正确．证明：在BA的延长线上取一点N．使ANCE，连接NE．BNBE．45NPCE°．四边形ABCD是正方形，ADBE∥．DAEBEA．NAECEF．ANEECF△≌△（ASA）．AEEF．4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.ADFCGEB图3ADFCGEB图2ADFCGEBMADFCGEBNCBAED图1NMABCDEMN图2ACBEDNM图34解：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE∵AC=BC∴△ADC≌△CEB②∵△ADC≌△CEB∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE+CD=AD+BE(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE又∵AC=BC∴△ACD≌△CBE∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE-CD=AD-BE(3)当MN旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD.5、如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC∥，E是AB的中点，过点E作EFBC∥交CD于点F．46ABBC，，60B∠.求：（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MNAB∥交折线ADC于点N，连结PN，设EPx.①当点N在线段AD上时（如图2），PMN△的形状是否发生改变？若不变，求出PMN△的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由ADEBFC图4（备用）ADEBFC图5（备用）ADEBFC图1图2ADEBFCPNM图3ADEBFCPNM（第25题）5解（1）如图1，过点E作EGBC于点G．∵E为AB的中点，∴在RtEBG△中，60B∠，∴30BEG∠．∴即点E到BC的距离为3．（2）①当点N在线段AD上运动时，PMN△的形状不发生改变．∵PMEFEGEF，，∴PMEG∥．∵EFBC∥，∴EPGM，3PMEG．同理4MNAB．如图2，过点P作PHMN于H，∵MNAB∥，∴6030NMCBPMH∠∠，∠．∴1322PHPM．∴3cos302MHPM．则35422NHMNMH．在RtPNH△中，222253722PNNHPH．∴PMN△的周长=374PMPNMN．②当点N在线段DC上运动时，PMN△的形状发生改变，但MNC△恒为等边三角形．当PMPN时，如图3，作PRMN于R，则MRNR．类似①，32MR．∴23MNMR．∵MNC△是等边三角形，∴3MCMN．此时，6132xEPGMBCBGMC．当MPMN时，如图4，这时3MCMNMP．此时，61353xEPGM．图3ADEBFCPNM图4ADEBFCPMN图5ADEBF（P）CMNGGRG图1ADEBFCG图2ADEBFCPNMGH22112132BGBEEG，．122BEAB．6FDBCD'A当NPNM时，如图5，30NPMPMN∠∠．则120PMN∠，又60MNC∠，∴180PNMMNC∠∠．因此点P与F重合，PMC△为直角三角形．∴tan301MCPM．此时，6114xEPGM．综上所述，当2x或4或53时，PMN△为等腰三角形．练习1、如图,射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求（1）△PAB为等腰三角形的t值；（2）△PAB为直角三角形的t值；（3）若AB=5且∠ABM=45°，其他条件不变，直接写出△PAB为直角三角形的t值2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为53、如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在点D’处，求重叠部分⊿AFC的面积.74、已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在ABC△的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点MN、分别作AB边的垂线，与ABC△的其它边交于PQ、两点，线段MN运动的时间为t秒．1、线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．5、如图，在梯形ABCD中，354245ADBCADDCABB∥，，，，∠．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当MNAB∥时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．CPQBAMNADCBMN8OMANBCyx6、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(4，3)，点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)．(1)求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？(2)设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？(3)连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．7、（河北卷）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．APCQBD9EDBCAQP8、在ABC中，,4,5,DBCCD3cm,CRtACcmBCcm点在上，且以＝现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ。设动点运动时间为x秒。（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设EDQ的面积为2()ycm，求y与月份x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当x为何值时，EDQ为直角三角形。9、（杭州）在直角梯形ABCD中，90C，高6CDcm（如图1）。动点,PQ同时从点B出发，点P沿,,BAADDC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1/cms。而当点P到达点A时，点Q正好到达点C。设,PQ同时从点B出发，经过的时间为ts时，BPQ的面积为2ycm（如图2）。分别以,ty为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN。（1）分别求出梯形