矩形综合测试题

矩形同步测试湖南省汨罗市长乐中学周浩雄13874075118一．选择题1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°2．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（）A．1B．2C．3D．43．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CDB．AD=BCC．AC=BDD．AB=BC4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为O，AB=8cm，AD=5cm，EF过点O分别交AB、CD于E、F，那么图中阴影部分面积为（）A．10cm2B．12cm2C．15cm2D．20cm25．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（）A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°6．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（）A．甲量得窗框两组对边分别相等B．乙量得窗框的对角线相等C．丙量得窗框的一组邻边相等D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等7．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2B．2.2C．2.4D．2.58．(课本P101练习第3题改编)如图所示是一个矩形ABCD，在AD上取一点P，过P作PF⊥AC于F，PE⊥BD于E，其中AD=12，AB=5，PE+PF等于（）A．1340B．1345C．1350D．1360二．填空题9．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，则OD=．10．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是．（填上你认为正确的一个答案即可）11．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE=1：2，则∠CAE=度．12．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2，则S1S2（填“＞”“＜”或“=”）13．如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，AB=6，AD=8，则PA+PC的最小值为．14．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF=．三．解答题15．已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF．求证：AF=CE．16．（课本P107习题第4题改编）如图，在平行四边形ABCD中，∠ADC的平分线DE和∠BCD的平分线CE相交于点E，∠DAB的平分线AF与∠ABC的平分线BF相交于点F，DE与AF相交于点G，CE与BF相交于点H，则四边形EGFH是什么四边形？请说明理由．17．在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F；求证：DF=DC．18．（课本P104练习题第3题改编）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF．求证：OB⊥EF．19．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数．附加题20．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．矩形同步测试答案一．选择题1．B2．B3．C4．A5．C6．D7．C8．D二．填空题9．310．∠A=90°11．3012．=13．1014．231－14题提示1．易知OB=OC，∴∠OBC=∠ACB=30°，∴∠AOB=∠OBC+∠ACB2．则由折叠可知C′D＝CD，由矩形性质CD=AB3．由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．4．易证△CFO≌△AEO，求出△CFO的面积等于△AEO的面积，求出△OAB的面积5．∠BCD+∠ADC=180°，但∠BCD不一定与∠ADC相等，由矩形判定定理，故C不正确6．根据矩形的判定（矩形的对角线平分且相等），故D正确7．易知AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．8．连接OP，由矩形推出AC=BD，OA=OC，OB=OD，由勾股定理求出AC和BD的长，求出矩形ABCD的面积，进而得到△AOD的面积，根据S△AOD=S△APO+S△DPO=OA•PF+OD•PE即可求出答案．9．矩形的对角线相等，且互相平分10．先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案．11．根据矩形的性质，及已知条件求出可求出∠DAE，∠BAE的值，再根据矩形中对角线相等且平分得到∠OAB=∠OBA=30°，然后求出∠CAE的值．12．矩形ABCD的面积等于△ABC的面积的2倍，而△ABC的面积又等于矩形AEFC的一半，所以可得两个矩形的面积关系．13．连接AC交BD于P，此时PA+PC的值最小，根据勾股定理求出BD，根据矩形性质得出BD=AC．14．证△AEF≌△ADF，推出AE=AD=5，EF=DF，在△ABE中，由勾股定理求出BE=3，求出CE=2，设CF=x，则EF=DF=4﹣x，在Rt△CFE中，由勾股定理得出方程（4﹣x）2=x2+22，求出x即可．三．解答题15．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，DC=AB，∴CF∥AE，∵DF=BE，∴CF=AE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF=CE．16．解：四边形EGFH是矩形，理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°．∵AF，BF分别平分∠DAB，∠ABC，∴∠FAB+∠FBA=21（∠DAB+∠ABC）=21×180°=90°．∴∠AFB=90°，同理：∠E=90°，∠DGA=90°，∴∠FGE=90°，∴四边形EGFH是矩形．17．证明：连接DE．∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE．∵有矩形ABCD，∴AD∥BC，∠C=90°．∴∠ADE=∠DEC，∴∠DEC=∠AED．又∵DF⊥AE，∴∠DFE=∠C=90°．∵DE=DE，∴△DFE≌△DCE．∴DF=DC．18．证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF；∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF，19．解：∵AE平分∠BAD交BC于E，∴∠AEB=45°，AB=BE，∵∠CAE=15°，∴∠ACB=∠AEB﹣∠CAE=45°﹣15°=30°，∴∠BAO=60°，又∵OA=OB，∴△BOA是等边三角形，∴OA=OB=AB，即OB=AB=BE，∴△BOE是等腰三角形，且∠OBE=∠OCB=30°，∴∠BOE=21（180°﹣30°）=75°．附加题20．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=12，CF=5，∴EF=22512=13，∴OC=21EF=6.5；（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．多余备选题1．如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α=（）度．A．30B．25C．15D．10∴∠α=90°﹣∠CEB=90°﹣65°=25°．故选B．2．如图，矩形ABCD中，E为BC中点，作∠AEC的角平分线交AD于F点．若AB=6，AD=16，则FD的长度为．易知BE=8，在直角三角形ABE中，AE2=AB2+BE2=62+82=100，∴AE=10，已知矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠AEF=∠AFE，∴AF=AE=10，∴FD=AD﹣AF=16﹣10=6，故答案为：6．3．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上的一点，过点A作AF∥BE，交ED的延长线于点F，连接AE，CF．（1）求证：AF=CE；（2）如果AC=EF，则四边形AFCE是矩形．（1）证明：∵AF∥BE，∴∠AFD=∠CED，∠FAD=∠DCE，∵D是AC的中点，∴AD=DC，在△FAD和△ECD中，∴△FAD≌△ECD（AAS），∴AF=CE；（2）证明：∵△FAD≌△ECD，∴FD=DE，∵AD=DC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形．