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12012届全国各省市高三上学期数学联考试题重组专题题型三立体几何（学生版）【备考要点】立体几何在数学高考中占有重要的地位，近几年高考对立体几何考察的重点与难点稳定（也是考生的基本得分点）：高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行的判断与性质、垂直的判断与性质作为考察的重点。新课标教材对立体几何要求虽有所降低，但考察的重点一直没有变，常常考察线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系和空间角与距离的计算。（1）从考题的数量看，一般为2-3题，其中一大一小的设置更符合课时比例；从所占分值来看，同一省份不同年份差异不大，不同省份略有差异。（2）文理科差异较大，文科以三视图、面积与体积、平行与垂直关系的判断与证明为主要的考查对象，三视图几乎每年必考（其实，三视图是考察学生空间想象能力的良好素材，大部分省份的情况是文、理同题，位置调整难度）。（3）理科在文科的基础上重点考查空间角的计算，由此可见“空间角的计算”受到的关注程度最高，与考纲要求吻合。解答题的命制特点是“一题两法”，各地标准答案都给出了向量解法。（4）在“空间角”的考查中，主要考查的是“二面角”，高于教材要求，但对线面角的考查也有加大的趋势。预测2012年高考的可能情况是：(1)以选择题或者填空题的形式考查空间几何体的三视图以及表面积和体积的计算．对空间几何体的三视图的考查有难度加大的趋势，通过这个试题考查考生的空间想象能力；空间几何体的表面积和体积计算以三视图为基本载体，交汇考查三视图的知识和面积、体积计算，试题难度中等．(2)以解答题的方式考查空间线面位置关系的证明，在解答题中的一部分考查使用空间向量方法求解空间的角和距离，以求解空间角为主，特别是二面角．【2011高考题型】立体几何大题一般出现在试卷中第18、19题，难度中等，少数省份出现在20、21或17题位置，难度中等偏上或偏下。小题通常为容易题、中等题，中上难度的题也时有出现。占分比重全国绝大多数省份是两小题一大题21-22分，占全卷的14%左右。考查重点直线与平面的位置关系判定、证明及角度与距离的计算。直线平面的平行、垂直作为知识体系的轴心，在考查中地位突出，贯穿整个大题。角度的计算：线线角、线面角、二面角是必考内容，线面角、二面角的出现频率更高些。距离以点面距、异面直线的距离为主，前者的出现频率更高。另外还应注意非标准图形的识别、三视图的运用、图形的翻折、求体积时的割补思想等，以及把运动的思想引进立体几何。最近几年综合分析全国及各省高考真题，立体几何开放题是高考命题的一个重要方向，开放题更能全面的考查学生综合分析问题的能力。考查内容一般有以下几块内容：1、平行：包括线线平行，线面平行，面面平行；2、垂直：包括线线垂直，线面垂直，面面垂直；3、角度：包括线线（主要是异面直线）所成的角，线面所成的角，面面所成的角；4、求距离或体积；高考中的立体几何题的解法通常一题多解，同一试题的解题途径和方法中常常潜藏着极其巧妙的解法，尤其是空间向量这一工具性的作用体现的更为明显。因此，这就要求考生通过“周密分析、明细推理、准确计算、猜测探求”等具有创造性思维活动来选择其最佳解法以节约做题时间，从而适应最新高考要求。立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用向量方法处理，又可用传统的几何方法解决，并且向量方法比用传统方法解决较为简单，对中学数学教学有良好的导向作用，符合数学教材改革的要求，有力地支持了新课程的改革..2【2012命题方向】【原题】（本题满分13分）如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD平面ABCD．底面ABCD为矩形，2,3ADaABa，SASDa．（Ⅰ）求证：CDSA；（Ⅱ）求二面角CSAD的大小.【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷【原题】(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∠B1A1C1=90°，D、E分别为CC1和A1B1的中点，且A1A=AC=2AB=2．(I)求证：C1E∥平面A1BD；(Ⅱ)求点C1到平面A1BD的距离．【试题出处】河北省石家庄市2012届高三上学期教学质量检测(一)数学（文）试题【原题】(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N分别是PA、BC的中点．(I)求证：MN∥平面PCD；(II)在棱PC上是否存在点E，使得AE上平面PBD?若存在，求出AE与平面PBC所成角的正弦值，若不存在，请说明理由．【试题出处】河北省石家庄市2012届高三上学期教学质量检测(一)数学（理）试题【原题】（本小题满分13分）如图，在四棱锥ABCDP－中，底面ABCD是菱形，060BAD＝，2AB＝，1PA＝,PA平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点.(Ⅰ)求证：BE∥平面PDF；（Ⅱ）求证：平面PDF⊥平面PAB；（Ⅲ）求平面PAB与3平面PCD所成的锐二面角的大小.说明：（Ⅲ）小题用几何法，解答只要言之有理均应按步给分.【试题出处】福建省三明市普通高中2011-2012学年第一学期联合命题考试高三数学（理科）试题【原题】（本题满分12分）如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，2,90,60CDCA，把△ABD沿BD折起（如图2），使二面角A―BD―C的余弦值等于33。对于图2，完成以下各小题：（1）求A，C两点间的距离；（2）证明：AC平面BCD；（3）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值。【试题出处】山东省烟台市2012届高三上学期期末检测数学（理）试题【原题】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱111CBAABC中，2AB，41AAAC，90ABC．（1）求三棱柱111CBAABC的表面积S；（2）求异面直线BA1与AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）．【试题出处】2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理）【原题】（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为矩形，DA平面ABE,2AEEBBC，BF平面ACE于点F，且点F在CE上.（Ⅰ）求证：DEBE；（Ⅱ）求四棱锥EABCD的体积；（Ⅲ）设点M在线段AB上，且AMMB，试在线段CE上确定一点N，使得//MN平面DAE.【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学(文科)【原题】（本小题满分12分）已知四边形ABCD满足AD∥BC，12BAADDCBCa，E是BC的中点，将BAE沿着AE翻折4成1BAE，使面1BAE面AECD，F为1BD的中点.（Ⅰ）求四棱1BAECD的体积；（Ⅱ）证明：1BE∥面ACF；（Ⅲ）求面1ADB与面1ECB所成二面角的余弦值.【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学(理科)【原题】（本小题满分12分）如图，在四棱锥S—ABCD中，SD底面ABCD，底面ABCD是矩形，且2SDADAB，E是SA的中点。（1）求证：平面BED平面SAB；（2）求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小。【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题（理）【原题】（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求三棱锥E-BCD的体积。【试题出处】江苏省苏北四市（徐、连、宿、淮）2012届高三元月调研测试（数学）【原题】（本题满分14分）如图，在梯形ABCD中，//ABCD，2CBDCAD，30CAB，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，3CF．（Ⅰ）求证：BC平面ACFE；（Ⅱ）设点M为EF中点，求二面角CAMB的余弦值．【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（文）试卷【原题】（本题满分14分）已知四棱锥PABCD中，PAABCD平面，底面ABCD是边长为a的菱形，120BAD，PAb．（I）求证：PBDPAC平面平面；（II）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角OPMD的正切值为26，求:ab的值．【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷（第20题）ABCDEMFEDB1C1A1CBA5FEDP【原题】（本小题满分14分）如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示.（1）求证：PDEF；（2）求三棱锥PDEF的体积；（3）求点E到平面PDF的距离．【试题出处】广东省揭阳市2011—2012学年度高三学业水平考试数学文试题【原题】（本小题满分14分）如图，一简单组合体的底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC//PD，PD=2EC(1)PDABE平面求证：//(2)若2ADPD，求DE与平面PDB所成角的正弦值。【试题出处】温州市十校联合体2011学年第一学期高三期末联考数学试卷【原题】（本小题满分12分）如图，已知四棱台ABCD–A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1=2。（I）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积；（Ⅲ）求二面角B—C1C—D的余弦值．【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试数学（理）试题【原题】(本小题满分13分)在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为32的正三角形，点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1A⊥BC；（Ⅱ）当侧棱AA1和底面成45°角时，求二面角A1—AC—B的大小余弦值；DPABCE6（Ⅲ）若D为侧棱A1A上一点，当DADA1为何值时，BD⊥A1C1．【试题出处】2012届厦门市高三上期末质量检查数学模拟试题（理）【原题】（本小题满分12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点。（1）求证:平面BDE平面SAC(2)当二面角EBDC的大小为45时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由。【试题出处】黑龙江省绥化市2011-2012学年度高三年级质量检测数学理科试题【原题】（本小题共14分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD为菱形，60BAD，Q为AD的中点，2PAPDAD．（Ⅰ）求证：AD平面PQB；（Ⅱ）点M在线段PC上，PMtPC，试确定t的值，使//PA平面MQB；（Ⅲ）若//PA平面MQB，平面PAD平面ABCD，求二面角MBQC的大小．【试题出处】北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学【原题】(本题12分)如图(1)在等腰ABC中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，120ACB，现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2))(I)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(II).求二面角E-DF-C的余弦值；(III)在线段BC是否存在一点P，但APDE？证明你的结论.ABCDEF图(1)ABCDEF图(2)7【试题出处】2012年北海市高中毕业班第一次质量检测数学【原题】如图所示,在棱长为2的正方体1AC中,点PQ、分别在棱BCCD、上,满足11BQDP,且2PQ.(1)试确定P、Q两点的位置.(2)求二面角1CPQA大小的余弦值.【试题出处】南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学试题【原题】（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥P—ABCD中，90DAB，PA平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1。（1）求证：BC平面PAB；（