高中数学必修4三角函数常考题型三角函数的诱导公式(二)

三角函数的诱导公式(二)【知识梳理】诱导公式五和公式六【常考题型】题型一、给角求值问题【例1】(1)已知cos31°＝m，则sin239°tan149°的值是()A.1－m2mB.1－m2C．－1－m2mD．－1－m2(2)已知sinπ3－α＝12，求cosπ6＋α的值．[解析](1)sin239°＋tan149°＝sin(180°＋59°)tan(180°－31°)＝－sin59°(－tan31°)＝－sin(90°－31°)(－tan31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－cos231°＝1－m2.[答案]B(2)cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.【类题通法】角的转化方法(1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数．若转化之后的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数．(2)当化成的角是90°到180°间的角时，再利用180°－α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．(3)当化成的角是270°到360°间的角时，则利用360°－α及－α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．【对点训练】已知cos(π＋α)＝－12，求cosπ2＋α的值．解：∵cos(π＋α)＝－cosα＝－12，∴cosα＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cosπ2＋α＝－sinα＝－1－cos2α＝－1－122＝－32；②若α为第四象限角，则cosπ2＋α＝－sinα＝1－cos2α＝1－122＝32.题型二、化简求值问题【例2】已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αcos－α＋3π2cosπ2－αsin－π－α.(1)化简f(α)；(2)若α为第三象限角，且cosα－3π2＝15，求f(α)的值；(3)若α＝－31π3，求f(α)的值．[解](1)f(α)＝sinαcosα－sinαsinαsinα＝－cosα.(2)∵cosα－3π2＝－sinα＝15，∴sinα＝－15，又∵α为第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－265，∴f(α)＝265.(3)f－31π3＝－cos－31π3＝－cos－6×2π＋5π3＝－cos5π3＝－cosπ3＝－12.【类题通法】化简求值的方法解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数的基本关系式变形求解．【对点训练】已知f(α)＝sin－αcosπ＋αcosπ2－αcosπ－αsin2π＋αtanπ＋α.(1)化简f(α)；(2)若角α的终边在第二象限且sinα＝35，求f(α)．解：(1)f(α)＝sin－αcosπ＋αcosπ2－αcosπ－αsin2π＋αtanπ＋α＝－sinα－cosαsinα－cosαsinαtanα＝－cosα.(2)由题意知cosα＝－1－sin2α＝－45，∴f(α)＝－cosα＝45.题型三、三角恒等式的证明【例3】求证：tan2π－αcos3π2－αcos6π－αtanπ－αsinα＋3π2cosα＋3π2＝1.[证明]左边＝tan－α－cosπ2－αcos－α－tanα－sinπ2＋α－cosπ2＋α＝－tanα－sinαcosα－tanα－cosαsinα＝1＝右边．∴原式成立．【类题通法】三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．【对点训练】求证：cosπ－θcosθsin32π－θ－1＋cos2π－θcosπ＋θsinπ2＋θ－sin3π2＋θ＝2sin2θ.证明：左边＝－cosθcosθ－cosθ－1＋cosθ－cosθcosθ＋cosθ＝11＋cosθ＋11－cosθ＝1－cosθ＋1＋cosθ1＋cosθ1－cosθ＝21－cos2θ＝2sin2θ＝右边．∴原式成立．【练习反馈】1．若sinπ2＋θ0，且cosπ2－θ0，则θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B由于sinπ2＋θ＝cosθ0，cosπ2－θ＝sinθ0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.2．如果cos(π＋A)＝－12，那么sinπ2＋A等于()A.－12B.12C．－32D.32解析：选Bcos(π＋A)＝－cosA＝－12，∴cosA＝12，∴sinπ2＋A＝cosA＝12.3．化简：sin(－α－7π)·cosα－3π2＝________.解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos3π2－α＝－sin(π＋α)·－cosπ2－α＝sinα·(－sinα)＝－sin2α.答案：－sin2α4．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.解析：将sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°中的首末两项相加得1，第二项与倒数第二项相加得1，…，共有44组，和为44，剩下sin245°＝12，则sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝892.答案：8925．化简：1tan2－α＋1sinπ2－α·cosα－3π2·tanπ＋α.解：∵tan(－α)＝－tanα，sinπ2－α＝cosα，cosα－3π2＝cos3π2－α＝－sinα，tan(π＋α)＝tanα，∴原式＝1tan2α＋1cosα·－sinα·tanα＝1sin2αcos2α＋1－sin2α＝cos2α－1sin2α＝－sin2αsin2α＝－1.