5.6--刚体的定点运动--进动

第5章刚体的定轴转动1二、基本特征回转仪绕对称轴高速旋转陀螺1)对称轴高速2)定点外力对定点求力矩对称轴绕定点旋转L三、解释1）必须具有对称轴2）高速旋转重力对定点O的力矩0cMrmg0ML0LMtdd每瞬时外力矩只改变角动量的方向不改变角动量的大小ocrmg一、进动现象已经自转的物体在外力矩的作用下，自转轴绕另一轴转动的现象称为进动。§5.6刚体的定点运动进动第5章刚体的定轴转动2OLmgMdLΩ陀螺的自旋角动量为LJMdtdL//dLM当ML时则只改变方向，不改变大小（进动）L角动量定理第5章刚体的定轴转动3OΩLsinLd进动角速度ΩsindLLd而且MdtdLsinMdtdLLd1sinsinMMdΩdtJLΩ以上只是近似讨论，只适用高速自转，即角动量定理ΩLd第5章刚体的定轴转动4万向支架基座回转体（转动惯量I）AABBOO陀螺仪定向原理应用不受外力矩作用高速旋转的陀螺，由于角动量守恒，因而其转动轴的方向不变。自由陀螺的定向特性在航天、航空等领域中具有重要的意义。第5章刚体的定轴转动5岁差（进动）27530年周期第5章刚体的定轴转动6刚体力学小结一、运动学描写刚体转动的物理量1.角量：线量：rra微积分关系2.角量与线量的关系srrar2nar3.方向：右手螺旋法与的关系：r4.匀角加速转动公式2012tt0t22002()第5章刚体的定轴转动7二、动力学1.基本概念：力矩：MrF转动惯量：2iiJmr2Jrdm转动动能：212kEJ转动角动量：Lrm定轴转动：LJ（定点、定轴）（定点）2.基本定理：转动定律：MJ（定轴转动中力矩的瞬时作用规律）第5章刚体的定轴转动8转动动能定理：212201122MdJJ角动量定理：2100ttMdtJJ力矩的持续作用规律功能原理：0AAEE外非＋守恒定律：0M外时，守恒L0AA外非时，守恒E3.解题思路：•平动部分：分析外力Fma•转动部分：分析力矩MJ•平动与转动的联系：角量和线量的关系（隔离分析方法）第5章刚体的定轴转动9如图所示例1解析：1M1R2R2M1m2m（平动＋转动）隔离分析受力（矩）规定正方向：逆时针平动：分析受力1mg1T111mgTma2mg2T222Tmgma转动：分析力矩3T1T2113111112TRTRMR2T2322222212TRTRMR线量与角量关系：1122aRR六个未知数，六个方程，可求解T1，T2，T3，a，β1，β2第5章刚体的定轴转动104.力矩的瞬时作用规律力矩的持续作用规律守恒定律（分析某一时刻合外力矩与转动状态的关系）（分析过程特点，选取始末状态）（判断守恒条件）例ABAB()AABBABJJJJ如此衔接，角动量守恒吗？——转动定律微积分法——动能和角动量定理——角动量守恒定理第5章刚体的定轴转动11例2如图所示，弹簧（l0，k）一端固定在一光滑水平面的O点，另一端系一质量为m的小球。开始时，弹簧被拉长x，即l＝l0＋x，此时给小球一个与弹簧垂直的初速度υ0。求：当弹簧恢复原长l0时，小球的速度。解小球绕O点转动，但并非圆周运动小球＋弹簧：机械能E守恒O02220111222mkxm小球运动过程中受有心力作用，角动量L守恒000()sin()mlxml第5章刚体的定轴转动12如图所示，细杆（l，m）可绕端点O的水平轴转动，从水平位置自由释放，在竖直位置与物体M相碰，物体与地面摩擦系数为μ，相撞后，物体沿水平地面滑行一段s后停止。例3求：碰后杆质心C离地最大高度，并说明杆向左右摆的条件。lmM解201122mglmglJ（1）自由下落过程（E守恒）213Jml032gl（2）杆物相碰（L守恒）2201133mlmlml①②第5章刚体的定轴转动13lmM①032gl2201133mlmlml②（3）碰后物体滑动（动能定理）2102MgsM2gs③332mglMgsml④00杆向右摆杆向左摆（4）碰后杆摆动（E守恒）2211()23ml12mgl()2lmgh第5章刚体的定轴转动14如图所示，细杆（l，m1）可绕端点O转动，与水平桌面摩擦系数为μ。有一运动的滑块m2，以速度υ1与静止杆的另一端点垂直相碰，△t极短，碰后速度υ2与υ1反向。例4求：细杆从碰后到停下来经历的时间t。解：O1l1m2mm1与m2相碰，动量不守恒，但角动量守恒21ml212213mlml21213()mml——碰后的角速度细杆在平面内移动时受到阻力（摩擦力）矩：10lmMdMxgdxl112mgl第5章刚体的定轴转动15O1l1m2m方法一：转动定理MJ32gl（匀角加速）0t21212()mtmg方法二：角动量定理00tMdtJ21212()mJtMmgMtJ第5章刚体的定轴转动16如图所示，质量为m的物体挂在匀质圆盘（M，R）边缘，盘可绕水平光滑轴转动，起初在圆盘上加一恒力矩，使物体以υ0匀速上升，如去掉所加恒力矩，经历多少时间圆盘开始作反向转动？例5解法一：转动定理mRMmgTM转动：212TRMRm平动：TTmgmaaR22mgaMm恒定加速度0at0022Mmtamg第5章刚体的定轴转动17mRMmgTT解法二：功能原理研究对象：M＋m＋地球∴E守恒取初态位置为重力势能零点mgh22200111222mMR00R0at212hat解法三：角动量定理AAE外内21MdtLL(0)mgRt200102MRmR022Mmtmg